Symplektická varieta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Symplektická varieta je pojem z matematiky, přesněji z diferenciální geometrie. Formalizuje v rámci matematiky fyzikální pojem fázového prostoru.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Dvojici nazveme symplektická varieta, pokud je (hladká) varieta a je tzv. symplektická diferenciální forma na , tj. pro každé je symplektický vektorový prostor a navíc , tj. je uzavřená.

Poznámka[editovat | editovat zdroj]

je tzv. tečný prostor k v bodě a je vyčíslení diferenciální -formy v bodě , tj. bilineární forma. Operátor je tzv. de Rhamův diferenciál či vnější diferenciál.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

1) Kotečný bandl libovolné hladké variety konečné dimenze vybavený diferenciálem tzv. Liouvilleovy formy je symplektická varieta. Speciálně symplektický vektorový prostor je symplektická varieta. Kotečné bandly jsou matematické modely fázových prostorů.

2) Torus spolu s formou , kde a jsou tzv. poledníkové a rovnoběžníkové souřadnice na toru, je symplektická varieta. Analogicky pro tory vyšších dimenzí. Obdobně libovolný torus sudé dimenze je symplektickou varietou. Eliptická křivka nad tělesem komplexních čísel, protože je z hlediska diferenciální geometrie torem, je rovněž symplektická.

3) Sféra spolu s formou kde a jsou std. souřadnice na sféře, je symplektická varieta. Jde o jedinou sféru, na níž existuje symplektická forma, jak plyne z tvrzení níže a z toho, že -tá (ko)homologická grupa sfér je až na první a -tou nula.

4) Každá Kahlerova varieta je symplektická. Existují ale symplektické variety, které nejsou Kahlerovy.

Tvrzení[editovat | editovat zdroj]

1. Pokud je kompaktní symplektická varieta, potom není exaktní, tj. speciálně druhá kohomologická grupa


2. Darbouxova věta: Pokud je symplektická varieta dimenze , pak pro každé existuje mapa (), že , kde jsou standardní souřadnice na .

Darbouxova věta říká, že symplektická varieta nemá žádné lokální diferenciálně geometrické invarianty, tj. lokálně vypadá symplektická forma vždy stejně. Globální alespoň částečné invarianty existují, viz předchozí větu.

Aplikace[editovat | editovat zdroj]

Teorie symplektických variet nabízí matematický model Hamiltonovy mechaniky. Je podstatnou složkou tzv. zrcadlité symetrie pocházející z teorie strun.

Postupuje se takto. Nechť je symplektická varieta a nechť je hladká funkce na (každá taková funkce se v klasické mechanice nazývá Hamiltonián). Vektorové pole na se nazývá Hamiltonovo vektorové pole pro Hamiltonovský systém, pokud , kde je kontrakce tenzorového pole omega polem X. Integrální křivky pole jsou možnými pohyby mechanického systému s Hamiltoniánem .

Poissonova závorka je -bilineární zobrazení definované , a .

Z toho, že symplektická forma je uzavřená, plyne tzv. Jacobiho identita pro Poissonovu závorku