Stefanův-Boltzmannův zákon

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Stefanův-Boltzmannův zákon publikovaný roku 1879 Ludwigem Boltzmannem a Josefem Stefanem popisuje celkovou intenzitu záření absolutně černého tělesa. Tento zákon říká, že intenzita vyzařování roste se čtvrtou mocninou termodynamické teploty zářícího tělesa.

I = \sigma T^4


Pro "šedé těleso" lze Stefanův-Boltzmannův zákon psát jako

I = \epsilon \sigma T^4

kde \epsilon je emisivita povrchu tělesa.

Tabulka[editovat | editovat zdroj]

Tabulka ukazuje příklady hodnot měrného výkonu (intenzity záření) pro některé teploty:

Teplota [°C] Teplota [K] Intenzita [W·m-2] Poznámka
0 273,15 315,6 teplota tání ledu
100 373,15 1100 teplota varu vody
120,85 394 1366 solární konstanta ve vzdálenosti 1 AU od Slunce, tuto teplotu by měla černá deska kolmá ke Slunci, kdyby mohla vyzařovat jen osluněnou stranou
5507 5780 6,33 . 107 povrch Slunce

Odvození[editovat | editovat zdroj]

Vyjdeme z Planckova vyzařovacího zákona:

dI = \frac{\hbar}{4\pi^2 c^2} \frac{\omega^3}{e^{\frac{\hbar\omega}{kT}}-1} \mathrm{d}\omega,

v němž I(\omega) \mathrm{d} \omega je v jednotkám W/m2/sr. Celkový vyzařovaný výkon pak získáme integrací přes všechny možné úhlové frekvence:

P = \int_{0}^{+\infty} I(\omega) \mathrm{d}\omega = \frac{\hbar}{4 \pi^2 c^2} \int_{0}^{+\infty} \frac{\omega^3 \mathrm{d}\omega}{e^{\frac{\hbar \omega}{k_B T}} - 1}.

Integrál v tomto výrazu zjednodušíme substitucí x = \frac{\hbar \omega}{k_B T}, podle které \omega = \frac{k_B T}{\hbar} x a \mathrm{d}\omega = \frac{k_B T}{\hbar} \mathrm{d}x:

P = \frac{\hbar}{4 \pi^2 c^2} \int_{0}^{+\infty} \frac{x^3 \mathrm{d}x}{e^x - 1} \frac{k_B^4 T^4}{\hbar^4}.

Hodnota určitého integrálu z tohoto výrazu je \int_0^{+\infty} \frac{x^3 \mathrm{d}x}{e^x-1} = \frac{\pi^4}{15}, takže

P = \frac{\pi^2k_B^4}{60 \hbar^3 c^2} \, T^4 = \sigma T^4.

Související články[editovat | editovat zdroj]