Burali-Fortiho paradox

Burali-Fortiho paradox je poznatek publikovaný roku 1897, který spolu s dalšími výsledky podobného typu (označovanými jako paradoxy nebo antinomie) vedl ke krizi klasické naivní teorie množin a jejímu následnému nahrazení axiomatickým systémem. Burali-Fortiho paradox se týká ordinálních čísel.

Podstata paradoxu

Podle definice je ordinální číslo každá množina, která je dobře uspořádána relací "býti podmnožinou" a navíc každý její prvek je zároveň její podmnožinou.
Uvažujme nyní na chvilku o množině O, která obsahuje všechna ordinální čísla. Taková množina je určitě dobře uspořádaná pomocí $\subseteq$ a navíc každý svůj prvek (ordinální číslo) obsahuje určitě i jako podmnožinu. To ovšem znamená, že O je sama také ordinální číslo, které je větší než všechna ordinální čísla a tedy i než ona sama. To je ale samozřejmě nesmysl.

Řešení paradoxu

V době publikování byl Burali-Fortiho výsledek často zlehčován s tím, že se jedná o "příliš velkou" množinu - na "rozumných" množinách k něčemu podobnému docházet nemůže. Proto se také vžilo označení paradox, ačkoliv ve skutečnosti se jednalo o spor v klasické definici množiny jako "souboru objektů (prvků) vymezených pomocí operace náležení".

Teprve později, společně s dalšími "paradoxy", z nichž jako nejdůležitější se ukázal Russellův paradox, vedl tento výsledek ke kompletnímu přepracování základů teorie množin na axiomatickém základě - viz Zermelo-Fraenkelova teorie množin.

V axiomatické teorii množin se mi již žádným způsobem nepodaří zkonstruovat výše uvedenou množinu O - Burali-Fortiho výsledek je vlastně důkazem toho, že O není množina, ale vlastní třída - tedy objekt, o kterém můžu uvažovat, ale který nenáleží do světa teorie množin.

Podívejte se také na

• Teorie množin
• Ordinální číslo
• Russellova antinomie
• Cantorův paradox