Matematická indukce

Matematická indukce je metoda dokazování matematických vět a tvrzení, která se používá, pokud chceme ukázat, že dané tvrzení platí pro všechna přirozená čísla, případně jinou, předem danou nekonečnou posloupnost. Typicky se užívá k důkazům těch tvrzení o přirozených číslech, u nichž je snadné ověřit, že platí pro číslo 1, a zároveň lze platnost pro každé dané n převést v konečně mnoha krocích na platnost pro 1 s tím, že počet těchto kroků s rostoucím n také roste.

Princip důkazu indukcí

Typický důkaz indukcí se skládá ze dvou kroků:

• První krok: V tomto kroku se dokáže, že tvrzení platí pro nejmenší přirozené číslo n, nikoliv pro n=1, pro které nemusí vždy obecně platit.
• Indukční krok: Ukážeme, že pokud tvrzení platí pro n = m, pak platí i pro n = m + 1 (Část následující bezprostředně po pokud se někdy nazývá indukční předpoklad).

Princip matematické indukce pak již říká, že tvrzení platí pro každé n.

Často se v prvním kroku dokazuje, že tvrzení platí pro n = 0. Tento způsob je zcela ekvivalentní.

Tento postup se někdy přirovnává k dominu. Obě tyto části jsou totiž podobné dominovému efektu:

• Spadne první kostka domina.
• Pokud spadne nějaká kostka domina, spadne i její nejbližší soused.

Výsledkem potom je, že spadnou všechny kostky.

Příklad

Mějme následující tvrzení: Pro všechna přirozená $n$ platí

$1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}\,.$

Důkaz

První krok

Nejdříve zkontrolujeme, zda tvrzení platí pro n = 1. Zřejmě ano, jelikož součet prvních 1 přirozených čísel je 1 a 1(1 + 1)/2=1.

Indukční krok

Nyní chceme ukázat, že pokud tvrzení platí pro n = m, platí i pro n = m + 1. Tj. platí-li tvrzení, píšeme-li v něm všude m místo n, pak platí také píšeme-li v něm všude m + 1 místo n.

Předpokládejme tedy, že pro n = m tvrzení platí, čili

$1+2+\cdots +m={\frac {m(m+1)}{2}}.$

Přičtením m + 1 k oběma stranám této rovnice dostaneme

$1+2+\cdots +m+(m+1)={\frac {m(m+1)}{2}}+(m+1),$

což se rovná

$={\frac {m(m+1)}{2}}+{\frac {2(m+1)}{2}}={\frac {(m+1)(m+2)}{2}}.$

Máme tedy

$1+2+\cdots +(m+1)={\frac {(m+1)((m+1)+1)}{2}}.$

To je ale přesně tvrzení pro n = m + 1. Dokázali jsme, že je pravdivé, pokud je pravdivé tvrzení pro n = m.

Shrnutí

Tvrzení tedy platí pro všechna přirozená čísla, jelikož:

• Platí pro 1.
• Jestliže platí pro 1, platí i pro 2.
• Jestliže platí pro 2, platí i pro 3.
• Jestliže platí pro 3, platí i pro 4.

$\vdots$

Věta o důkazu indukcí

Myšlenku matematického důkazu indukcí lze formulovat touto matematickou větou:

Buď $A\subset \mathbb {N} ^{0}\,\!$ množina přirozených čísel, která obsahuje nulu a s každým svým prvkem x obsahuje i x+1. Pak $A=\mathbb {N} ^{0}\,\!$.

Související články

• Matematický důkaz
• Transfinitní indukce
• Fundovaná indukce
• Indukce dle složitosti
• Sestupná indukce

Portály: Matematika