Přeskočit na obsah

Sdružený operátor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Sdružený operátor nebo též adjungovaný operátor je významný pojem ve funkcionální analýze.

Jsou-li a Hilbertovy prostory, pak k lineárnímu operátoru sdruženým operátorem , nazveme takový operátor, který splňuje:

Rieszova věta zaručuje existenci a jednoznačnost sdruženého operátoru.

Často se pro sdružený operátor též používá značení , ve fyzice někdy .

Vlastnosti

[editovat | editovat zdroj]

Základní vlastnosti

[editovat | editovat zdroj]
  • Je-li invertibilní, tak:
  • V prostoru konečné dimenze sdruženému operátoru odpovídá komplexně sdružená transponovaná matice, tzv. hermiteovsky sdružená neboli adjungovaná matice.

Vlastnosti normy operátoru

[editovat | editovat zdroj]

Máme-li běžnou operátorovu normu

Tak platí:

A navíc:

Vztah jádra a obrazu

[editovat | editovat zdroj]

Jádro sdruženého operátoru je ortogonální na obraz původního operátoru, tj.:

Prvá rovnost platí protože:

Druhá rovnost vznikne jednoduše z první vzetím ortogonálního doplňku obou stran.