Plnění a prázdnění nádrže

Když do nádrže či nádoby kapalina přitéká a současně z ní odtéká, mohou nastat tři případy:

• nádrž se plní, pokud přítok je větší než odtok,
• nádrž se prázdní, pokud přítok je menší než odtok,
• hladina zůstává konstantní, pokud se přítok právě rovná odtoku, stav je ustálený (viz výtok otvorem).

Přitom jak první, tak druhý stav může za určitých okolností přejít do stavu třetího - ustáleného. Pokud je přítok do nádrže roven nule a odtok je nenulový, nádrž se může pouze prázdnit, a naopak, pokud je odtok z nádrže roven nule a přítok je nenulový, nádrž se může pouze plnit.

Základní diferenciální rovnice

Plnění/prázdnění nádrže - výpočetní schéma

Do nádrže přitéká průtok $Q_{p}$ [m³s⁻¹] a odtéká průtok $Q_{o}$ [m³s⁻¹]. Za čas $dt$ [s] tedy přiteče objem $Q_{p}dt$ [m³] a odteče objem $Q_{o}dt$ [m³]. Rozdíl těchto objemů musí být roven změně objemu v nádrži za tentýž čas. Uvažujme, že nádrž má plochu hladiny $S$ [m²] a za čas $dt$ se hladina v nádrži změní o $dh$ [m], čili objem kapaliny v nádrži se změní o $Sdh$ [m³]. Musí tedy platit

$(Q_{p}-Q_{o})dt=Sdh$

Obvykle nás zajímá, jak dlouho bude trvat než se nádrž naplní či vyprázdní ať již zcela, nebo z určité kóty (nebo polohy hladiny) na jinou, takže

$dt={{Sdh} \over {Q_{p}-Q_{o}}}$

a integrací této rovnice bude výsledný čas $t$ [s] roven

$t=t_{2}-t_{1}=\int _{h_{2}}^{h_{1}}{S \over {Q_{p}-Q_{o}}}dh$.

Odtok z nádrže uvažujeme jako výtok malým otvorem, nátrubkem nebo potrubím - ve všech těchto případech jej můžeme vyjádřit stejným způsobem jako

$Q_{o}=\mu S_{o}{\sqrt {2gh}}$

kde $\mu$ [-] je součinitel výtoku, $S_{o}$ [m²] plocha výtokového otvoru (nátrubku nebo potrubí) a $h$ [m] je výška hladiny nad těžištěm výtokového otvoru. Potom tedy bude

$t=t_{2}-t_{1}=\int _{h_{2}}^{h_{1}}{S \over {Q_{p}-Q_{o}}}dh=\int _{h_{2}}^{h_{1}}{S \over {Q_{p}-\mu S_{o}{\sqrt {2gh}}}}dh$.

Rovnice je analyticky řešitelná pouze pokud přítok $Q_{p}=konst$ nebo $Q_{p}=0$ a pokud jsme schopni vyjádřit plochu hladiny v nádrži jako funkci polohy hladiny, resp. hloubky - $S=f(h)$.

Prázdnění prismatické nádrže při $Q_{p}=konst$

Mějme prismatickou nádrž, jejíž plocha hladiny je $S$. Základní diferenciální rovnice bude (viz výše) pro prázdnění (hladina klesá, $dh<0$)

$(Q_{p}-Q_{o})dt=Sdh$

Přítok do nádrže můžeme vyjádřit obdobně jako výtok z nádrže, přičemž uvažujeme totožné parametry (výtokový součinitel a plochu výtokového otvoru) - tento trik podstatně zjednoduší až vůbec umožní výpočet. Přítok tedy bude

$Q_{p}=\mu S_{o}{\sqrt {2gh_{p}}}$

kde $h_{p}$ [m] je tlačná výška, při které by výtok otvorem byl roven přítoku do nádrže, a tedy čas, za který se změní hladina z úrovně $h_{1}$ na úroveň $h_{2}$ bude

$t=t_{2}-t_{1}=\int _{h_{1}}^{h_{2}}{S \over {Q_{p}-Q_{o}}}dh=\int _{h_{1}}^{h_{2}}{S \over {\mu S_{o}{\sqrt {2g}}({\sqrt {h_{p}}}-{\sqrt {h}})}}dh$

Protože u prismatické nádoby $S=konst$, lze vztah dále upravit:

$t={S \over {\mu S_{o}{\sqrt {2g}}}}\int _{h_{1}}^{h_{2}}{1 \over ({\sqrt {h_{p}}}-{\sqrt {h}})}dh$.

Po substituci $y={\sqrt {h_{p}}}-{\sqrt {h}}$ a integraci dostáváme poměrně složitý výsledný vztah

$t={S \over {\mu S_{o}{\sqrt {2g}}}}\left[{\sqrt {h_{1}}}-{\sqrt {h_{2}}}-{\sqrt {h_{p}}}\ln {{{\sqrt {h_{p}}}-{\sqrt {h_{2}}}} \over {{\sqrt {h_{p}}}-{\sqrt {h_{1}}}}}\right]$.

Prázdnění prismatické nádrže při nulovém přítoku $Q_{p}$

Je-li přítok do nádrže nulový ($Q_{p}=0$), bude

$Q_{o}dt=\mu S_{o}{\sqrt {2gh}}dt=-Sdh$

a po integraci tedy

$t={{2S} \over {\mu S_{o}{\sqrt {2g}}}}{\Bigl (}{\sqrt {h_{1}}}-{\sqrt {h_{2}}}{\Bigr )}$.

Označme dobu nutnou k úplnému vyprázdnění nádrže $T$ [s]. Při úplném vyprázdnění bude $h_{2}=0$ a tedy

$T={{2S{\sqrt {h_{1}}}} \over {\mu S_{o}{\sqrt {2g}}}}$.

Pokud zlomek rozšíříme ${\sqrt {h_{1}}}$, bude

$T={{2Sh_{1}} \over {\mu S_{o}{\sqrt {2gh_{1}}}}}$

přičemž $Sh_{1}$ je počáteční objem kapaliny v nádrži a jmenovatel vyjadřuje ustálený výtok při hladině v úrovni $h_{1}$, Zřejmě tedy k úplnému vyprázdnění nádrže bude třeba dvojnásobný čas než je nutný, aby tentýž objem kapaliny vytekl otvorem při ustáleném stavu.

Výtok z nádrže pod pohyblivou hladinu

Mějme dvě prismatické nádrže (A a B) o plochách hladiny $S_{A}$ [m²] a $S_{B}$ [m²], propojené otvorem nebo potrubím s vhodným uzávěrem; propojení ústí do nádrže B pod hladinou kapaliny při jejím nejnižším stavu. Rozdíl hladin mezi nádrží A a nádrží B (tzv. spád) budiž $H$ [m]. Otevřeme-li uzávěr, bude kapalina v nádrži A klesat, v nádrži B naopak stoupat, takže rozdíl hladin se bude měnit (zmenšovat), až dojde k vyrovnání hladin.

Propojením o průřezu $S$ [m²] za čas $dt$ [s] proteče objem kapaliny

$Qdt=\mu S{\sqrt {2gh}}dt$.

Při propojení otvorem lze součinitel výtoku $\mu$ [-] brát běžnou odpovídající hodnotou, pokud je propojení provedeno potrubím, je nutno do součinitele výtoku zahrnout všechny ztráty v příslušném potrubí a součinitel výtoku tedy bude

$\mu ={1 \over {\sqrt {\alpha +\lambda {L \over D}+\sum \zeta }}}$

kde $\alpha$ [-] je Coriolisovo číslo, $\lambda$ [-] součinitel ztráty třením, $L$ [m] délka spojovacího potrubí, $D$ [m] jeho průměr a $\zeta$ [-] součinitel místní ztráty.

Za dobu $dt$ se z nádrže A vyprázdní a v nádrži B naplní objem kapaliny $dV=S_{A}dh_{A}=S_{B}dh_{B}$ a rozdíl hladin se zmenší o $dh=dh_{A}+dh_{B}$. Lze tedy psát

$dV=\mu S{\sqrt {2gh}}dt=-S_{A}dh_{A}$.

z čehož

$dt=-{S_{A} \over {\mu S{\sqrt {2g}}}}h^{-1/2}dh_{A}$.

Pro integraci je nutné vyjádřit $dh_{A}$ pomocí $dh$ - protože $dh_{B}={S_{A} \over S_{B}}dh_{A}$, bude $dh=dh_{A}{\Bigl (}1+{S_{A} \over S_{B}}{\Bigr )}$a tedy

$dh_{A}={S_{B} \over {S_{A}+S_{B}}}dh$

čili lze psát

$dt=-{S_{A}S_{B} \over {\mu S(S_{A}+S_{B}){\sqrt {2g}}}}h^{-1/2}dh$.

Pro úplné vyrovnání hladin integrujeme od $0$ do $T$, resp. od $0$ do $H$, takže

$T={S_{A}S_{B} \over {\mu S(S_{A}+S_{B}){\sqrt {2g}}}}\int _{0}^{H}h^{-1/2}dh={2S_{A}S_{B} \over {\mu S(S_{A}+S_{B}){\sqrt {2g}}}}{\sqrt {H}}$.

Pokud bychom chtěli dosáhnout jen určitého rozdílu hladin $H_{*}$ [m], postačí upravit integrační meze; výsledek je v tomto případě

$T={2S_{A}S_{B} \over {\mu S(S_{A}+S_{B}){\sqrt {2g}}}}{\bigl (}{\sqrt {H}}-{\sqrt {H_{*}}}{\bigr )}$.

Případ výtoku pod pohyblivou hladinu je typický např. pro plnění a prázdnění plavebních komor; při plnění lze většinou uvažovat přítok z velké nádrže (s konstantní hladinou), při prázdnění naopak výtok do nádrže s konstantní hladinou - to je de facto totožné s výtokem do volna z nádrže bez přítoku (viz výše).

Výtok z nádrže nepravidelného tvaru při proměnném přítoku do nádrže

Řešení v tomto případě vychází ze základní diferenciální rovnice (viz výše), převedené do diferenčního schématu. Časový krok musí být přiměřeně malý, aby bylo dosaženo potřebné přesnosti řešení při rozumné výpočetní době. Při řešení se často využívá tzv. čáry zatopených ploch a čáry zatopených objemů, které jsou např. standardně zpracovány pro přehradní nádrže jako funkce kóty hladiny.

Typickým problémem, který se řeší tímto způsobem, je např. transformace povodňové vlny v přehradní nádrži. V tomto případě se ale obvykle uvažuje, spíše než výtok otvorem, přepad přes bezpečnostní přeliv, případně v součinnosti se základovými výpustmi.

Externí odkazy

• Výtok otvorem - sylabus přednášky HYA (FSv ČVUT) Archivováno 14. 9. 2016 na Wayback Machine.

Portály: Fyzika