Monadický operátor

Monadický operátor je typový operátor vyššího druhu přiřazující libovolné monádě jinou monádu. Jedná se o endofunktor v kategorii endofunktorů.

Monadický operátor T je druhu $(\ast \rightarrow \ast )\rightarrow \ast \rightarrow \ast$ poskytující pro každou monádu operace $\eta$ a $>\!\!\!>\!\!=$ nad TMa a navíc speciální funkci $\lambda :Ma\rightarrow TMa$ (někdy nazývanou "lift") takovou, že platí $\eta _{TM}=\lambda \eta _{M}$ a $\lambda _{B}(m>\!\!\!>\!\!=f)=(\lambda _{A}m)>\!\!\!>\!\!=(\lambda _{B}\circ f)$ . Ve funkcionálních jazycích, protože složení dvou monád obecně není monáda, se používají monadické operátory, chceme-li spojit funkčnost dvou monád do jedné. Jazyky jako Haskell nabízejí ke každé monádě také odpovídající operátor.

Lze snadno ukázat, že λ je přirozená transformace z M do TM. Pro libovolnou monádu F platí $Ff=\lambda m.m\gtrdot \eta f$ . Chceme dokázat, že pro libovolný morfismus $f:A\rightarrow B$ platí $\lambda _{B}\circ Mf=TMf\circ \lambda _{A}$ .

V prvním případě máme

$\lambda _{B}\circ Mf=\lambda _{B}\circ \lambda m.m\gtrdot \eta _{B}f=\lambda m.\lambda _{A}m\gtrdot \lambda _{B}\eta _{B}f$

Ve druhém pak přímo

$TMf\circ \lambda _{A}=\lambda m.\lambda _{A}m\gtrdot \lambda _{B}\eta _{B}f$

Uvedený diagram tedy komutuje, pročež je λ přirozenou transformací.