Zobrazení zdroje stránky Kvadratura kruhu

[[Soubor:Squaring the circle.svg |náhled|upright=0.9|Kruh a čtverec o stejném obsahu. Kruhu o poloměru 1 odpovídá čtverec se stranou <math>\sqrt{\pi}</math>]]

'''Kvadratura [[kruh]]u''' je úloha sestrojit k danému kruhu čtverec o stejném obsahu, a to pouze pomocí pravítka a kružítka. Je to jeden ze tří nejslavnějších [[Starověk|antických]] [[konstrukce (geometrie)|konstrukčních problémů]] (zbylé dva jsou [[zdvojení krychle]] a [[trisekce úhlu]]; souhrnně jsou nazývány ''[[Tři klasické problémy antické matematiky]]''). Tyto problémy byly formulovány již v [[5. století př. n. l.]] a odolávaly po dlouhá staletí všem pokusům o vyřešení, než bylo v 19. století dokázáno, že jsou geometricky neřešitelné. Od nejstarších dob se však užívala různá přibližná řešení.

== Přesné zadání úlohy ==
Obecné zadání úlohy '''kvadratura kruhu''' zní v jazyce moderní [[matematika|matematiky]] takto:
{{Citát v rámečku|Nalezněte obecnou [[euklidovská konstrukce|euklidovskou konstrukci]], pomocí níž bude možné v konečném počtu kroků zkonstruovat [[čtverec]] o stejném [[obsah]]u, jako má daný [[Kruh (geometrie)|kruh]].}}
Poněkud méně formálně:
{{Citát v rámečku|K danému kruhu zkonstruujte čtverec o stejném obsahu pouze za užití [[pravítko|pravítka]] a [[kružítko|kružítka]].}}
Klíčová je podmínka, že to má být euklidovská konstrukce, čili používat jen pravítka a kružítka.

== Historie ==
Problém je zřejmě tak starý jako [[geometrie]] sama a zaměstnával matematiky po celá tisíciletí. Ačkoli jeho neřešitelnost byla spolehlivě dokázaná až roku 1882, už starověcí geometři měli velmi dobrou představu o jeho špatné uchopitelnosti. Hlavní překážkou je použití kružítka a pravítka bez stupnice. Pokud použijeme například pravítko se stupnicí, nebo třeba něco, co umí nakreslit [[Archimédova spirála|Archimédovu spirálu]], pak není příliš obtížné se s úlohou vypořádat.

== Důkaz neřešitelnosti ==
Označme '''a''' stranu čtverce a '''r''' poloměr kruhu. Řešíme problém <math>a^2=\pi*r^2</math>. Pokud zvolíme kruh o poloměru r = 1, pak <math>a^2=\pi</math>, a tedy <math>|a|=\sqrt\pi
</math>.

Řešení vyžaduje geometrické sestrojení čísla <math>\sqrt{\pi}</math>. Problém je, že toto číslo je [[transcendentní číslo|transcendentní]]. Neboli není [[algebraické číslo|algebraické]], a tudíž nemůže být ani sestrojitelné. Transcendentnost čísla [[Pí (číslo)|<math>\pi</math>]] byla dokázána roku [[1882]] [[Ferdinand von Lindemann|Ferdinandem von Lindemannem]]. Pokud by někdo měl vyřešit kvadraturu kruhu, musel by k tomu nutně nalézt algebraickou hodnotu <math>\pi</math>, což není možné. Nicméně je možné sestrojit čtverec s obsahem libovolně blízkým obsahu daného kruhu.

Pokud se původní zadání oslabí v tom, že se povolí nekonečný počet kroků při konstrukci, je kvadratura také možná.
I když kvadratura kruhu není uskutečnitelná v [[Eukleidovský prostor|Euklidově prostoru]], je možná v [[Hyperbolická geometrie|Gaussově-Bolyaiově-Lobačevského prostoru]].
[[Soubor:Circle in square with grid.svg |náhled|upright=0.7|Přibližné řešení obsahu kruhu (papyrus Rhind, asi 1650 př. n. l.)]]

== Přibližná řešení ==
Úloha obsahu kruhu, kterou můžeme chápat jako předchůdce kvadratury kruhu, se vyskytuje i v praxi, kde většinou vystačíme s přibližným řešením, které může být i velmi blízké přesné hodnotě řešení. Nejjednodušší přibližné řešení nahrazuje kruh nepravidelným osmiúhelníkem (viz obr.), jehož plocha je zřejmě 7, ač plocha kruhu o poloměru 1,5 je asi 7,07. Takto odhadnuté pí má hodnotu 28/9 neboli 3,111... . Chyba přiblížení je přibližně -1,2 %.

Staroegyptský [[Rhindův papyrus]], datovaný kolem [[1650 př. n. l.]], vyjadřuje poměr obsahu kruhu a opsaného čtverce jako 64/81, což odpovídá hodnotě pí 256/81, neboli přibližně 3.16.

Podstatně lepší přiblížení nalezl [[Archimédés]] (287-212 př. n. l.), který místo obsahu kruhu hledal jeho obvod. Přibližoval se k němu posloupností [[Pravidelný mnohoúhelník|pravidelných mnohoúhelníků]] o stále větším počtu stran a správně předpokládal, že obvod kruhu musí ležet mezi obvodem vepsaného a opsaného mnohoúhelníka. Jeho výsledný údaj byl, že obvod kruhu je větší než 3+<sup>10</sup>/<sub>71</sub> a menší než 3+<sup>10</sup>/<sub>70</sub>, což odpovídá hodnotě čísla <math>\pi</math> mezi 3,1408 a 3,1428, přibližně tedy 3,1419. Chyba jeho přiblížení činí méně než 0,05 % a je tedy pro většinu praktických použití zanedbatelná. Roku 1685 objevil polský matematik [[Adam Kochanski]] poměrně jednoduchou [[Eukleidovská konstrukce|euklidovskou]] [[Kochaňského konstrukce|konstrukci]], která odpovídá hodnotě čísla <math>\pi</math> asi 3,141533... a je tedy ještě o dva řády přesnější.
[[Soubor:Quadratur des kreises.svg |náhled|upright=1.0|Přibližná [[Kochaňského konstrukce|konstrukce A. Kochanského]] (1685)]]

Po objevu [[Analytická geometrie|analytické geometrie]] v 17. století ([[Pierre de Fermat]], [[René Descartes]]) se přibližné hodnoty čísla <math>\pi</math> začaly hledat pomocí nekonečných řad a počátkem 18. století bylo známo na 100 desetinných míst. Dnes je k dispozici v téměř libovolné délce, takže úloha kvadratury kruhu ztratila praktický význam a už v 17. století byli matematici přesvědčeni, že není řešitelná. Kvadratura kruhu se však stala tak populární, že další a další laici hlásili, že úlohu vyřešili. Francouzská akademie se proto roku 1775 usnesla, že nadále nebude zkoumat žádné zprávy o vyřešení tří klasických problémů matematiky, stejně jako zprávy o sestrojení [[Perpetuum mobile|perpetua mobile]].

== Frazém ==
[[Frazém]] „kvadratura kruhu“ má význam „nemožnost“, „nesplnitelný úkol“, „sotva splnitelný úkol“. (Příklad: ''Víme, že je to trochu kvadratura kruhu, ale je třeba se o to pokusit.'')

== Odkazy ==

=== Literatura ===
* HOLCOVÁ, Iveta. ''Symbolika kruhu a spirály – jejich výtvarná interpretace.'' České Budějovice, 2019. 86 s. Diplomová práce.  Ved. práce doc. Lenka Vojtová Vilhelmová, ak. mal. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. Pedagogická fakulta. Katedra výtvarné výchovy. Přístup také z: https://dspace.jcu.cz/handle/123456789/40617 {{Wayback|url=https://dspace.jcu.cz/handle/123456789/40617 |date=20230811115829 }}

=== Související články ===
* [[Kochaňského konstrukce]]
* [[Trisekce úhlu]]
* [[Zdvojení krychle]]

=== Externí odkazy ===
* {{Commonscat}}
* {{en}} [http://www.cut-the-knot.org/impossible/sq_circle.shtml Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles]
* {{en}} [http://mathworld.wolfram.com/CircleSquaring.html Math World]
* {{cs}} [https://web.archive.org/web/20060909092241/http://www.scienceworld.cz/sw.nsf/ID/E31E9CF0FFCBD249C1256FAC004CA796/ ScienceWorld]
* [https://www.korpus.cz/slovo-v-kostce/search/cs/kvadratura%20kruhu Slovo v kostce]
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Dějiny matematiky]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Matematické problémy]]
[[Kategorie:Neřešitelné úlohy]]