Husté uspořádání

Husté uspořádání je matematický pojem z oboru teorie množin, konkrétněji z teorie uspořádání.
Motivací k zavedení tohoto pojmu je zobecnění vlastností množiny racionálních čísel při běžném uspořádání podle velikosti.

Definice

Řekneme, že ostré lineární uspořádání R na množině A je husté, pokud mezi každé dva různé prvky množiny A lze vložit jiný její prvek $(\forall x,y\in A)(\exists z\in A)(x<_{R}z<_{R}y)\,\!$

Vlastnosti

Snadno se dá ověřit, že mezi každými dvěma různými prvky hustě uspořádané množiny leží nekonečně mnoho jejích prvků.
Budu-li uvažovat o běžném uspořádání čísel podle velikosti relací $<\,\!$ , pak

množina $\mathbb {R} \,\!$ všech reálných čísel je hustě uspořádaná
každý interval na množině reálných čísel je hustě uspořádaný
množina $\mathbb {Q} \,\!$ všech racionálních čísel je hustě uspořádaná, stejně jako každý její interval
množina přirozených čísel není hustě uspořádaná podle velikosti - například mezi 1 a 2 neexistuje žádné další přirozené číslo

Zajímavé je, že pro spočetné množiny lze při zkoumání vlastností hustých uspořádání vystačit s $\mathbb {Q} \,\!$ , jak ukazuje následující věta, vyslovená a dokázaná Georgem Cantorem:

Každá hustě uspořádaná spočetná množina bez nejmenšího a největšího prvku je izomorfní s $\mathbb {Q} \,\!$ .

Související články