Gravitační potenciál

Gravitační potenciál je skalární fyzikální veličina, která vyčísluje potenciální energii tělesa o jednotkové hmotnosti (v jednotkách SI 1 kg) v gravitačním poli ostatních těles. Za místo s nulovým potenciálem se obvykle bere nekonečně vzdálený bod. Hodnota gravitačního potenciálu je proto záporná.

Protože gravitační potenciál vyjadřuje měrnou energii, je jeho jednotkou v soustavě SI joule na kilogram (J/kg).

Gradientem gravitačního potenciálu je gravitační zrychlení.

Značení

• Symbol veličiny: $\phi (r)$
• Jednotka SI: J kg⁻¹

Gravitační potenciál hmotného bodu a kulově souměrného tělesa

Gravitační potenciál.

Gravitační potenciál hmotného bodu je v newtonovské fyzice vyjádřen vzorcem

$\phi (r)=-{\frac {GM}{r}},$

• $G$ je gravitační konstanta (někdy označována také $\kappa$)
• $M$ je hmotnost hmotného bodu
• $r$ je vzdálenost od hmotného bodu

Stejný vzorec platí (přesně) i pro gravitační potenciál vně sféricky symetrického tělesa (nad jeho povrchem), r pak vyjadřuje vzdálenost od středu takového tělesa. Proto lze například v astronomii nahradit ve výpočtech kosmická tělesa hmotnými body.

Gravitační potenciál sféricky symetrické kulové slupky je v dutině této slupky všude stejný. Gravitační zrychlení a tedy i tíha, způsobené touto slupkou, jsou proto uvnitř nulové. To umožňuje spočítat gravitační potenciál pod povrchem planet: pro výpočet se zahrne jen hmota planety, mající větší hloubku, než místo, pro nějž se potenciál počítá (Přesně to však platí pouze tehdy, je-li v dané hloubce hustota všude stejná).

Rychlost tělesa na kruhové dráze je v tomto potenciálu rovna Keplerovské rychlosti

$v_{k}={\sqrt {\frac {GM}{r}}},$

Úniková rychlost je

$v_{esc}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {2}}\ v_{k}.$

Plummerův potenciál

Protože se hmotný bod špatně integruje, je nutné ho šikovně "rozmazat". Jedním ze způsobů, jak to udělat, je použít Plummerovu sféru, jejíž potenciál je

$\phi _{P}(r)=-{\frac {GM}{\sqrt {r^{2}+b^{2}}}},$

kde $b$ je parametr.

Z Poissonovy rovnice pak odvodíme funkční závislost hustoty $\rho$ na poloměru $r$.

$\rho _{P}(r)={\frac {3M}{4\pi b^{3}}}\left(1+{\frac {r^{2}}{b^{2}}}\right)^{-5/2}$

Přičemž tato hustota jde do nekonečna, ale nediverguje.

Kuzminův potenciál

Analogie Plummerovy sféry ve válcových souřadnicích (opět "rozmazáváme" potenciál hmotného bodu).

$\phi _{K}(R,z)=-{\frac {GM}{\sqrt {R^{2}+\left(a+|z|\right)^{2}}}},$

• $R$ je vzdálenost v rovině xy
• $a$ je parametr
• $|z|$ je absolutní hodnota vzdálenosti ve směru osy z.

Poissonova rovnice ve válcových souřadnicích vede na povrchovou hustotu

$\Sigma _{K}(R)={\frac {aM}{2\pi \left(R^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}}.$

Miyamoto−Nagai potenciál

Toto je zobecnění všech předchozích potenciálů.

$\phi _{MN}(R,z)=-{\frac {GM}{\sqrt {R^{2}+\left(a+{\sqrt {z^{2}+b^{2}}}\right)^{2}}}}.$

Pokud

• $a=0$ a $b=0$ ... přechází v potenciál hmotného bodu, neboť $r={\sqrt {R^{2}+z^{2}}}$
• $a=0$ a $b\neq 0$ ... přechází v Plummerův potenciál
• $a\neq 0$ a $b=0$ ... přechází v Kuzminův potenciál, neboť $|z|={\sqrt {z^{2}}}$.

Tedy pokud je $b\ll a$, odpovídá to přibližně rozložení potenciálu disku s centrální výdutí (např. galaxie), pokud je $b\gg a$, dostáváme přibližně potenciál koule.

Z Poissonovy rovnice lze odvodit hustota

$\rho _{MN}(R,z)=\left({\frac {b^{2}M}{4\pi }}\right){\frac {aR^{2}+\left(a+3{\sqrt {z^{2}+b^{2}}}\right)\left(a+{\sqrt {z^{2}+b^{2}}}\right)^{2}}{\left[R^{2}+\left(a+{\sqrt {z^{2}+b^{2}}}\right)^{2}\right]^{5/2}\left(z^{2}+b^{2}\right)^{3/2}}}$

Související články

• Geoid

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu gravitační potenciál na Wikimedia Commons