Diamantový princip

Diamantový princip (značí se ◊) je matematické tvrzení z oblasti teorie množin, konkrétně nekonečné kombinatoriky. Jde o tvrzení nezávislé na axiomech Zermelo-Fraenkelovy teorie množin s axiomem výběru. Poprvé ho formuloval roku 1968 Ronald Björn Jensen.

Znění

Diamantový princip lze formulovat následovně:

Existuje posloupnost $(M_{\alpha };\,\alpha \in \omega _{1})$ množin taková, že $M_{\alpha }\subseteq \alpha$ a pro každou množinu $X\subseteq \omega _{1}$ je $\{\alpha ;X\cap \alpha =M_{\alpha }\}\,\!$ stacionární množina v $\,\omega _{1}\,\!$ .

Vztah k jiným dodatečným axiomům

Diamantový princip není dokazatelný ani vyvratitelný v ZFC – to lze ukázat užitím forcingu . Jeho „sílu“ v porovnání s ostatními nezávislými tvrzeními lze vyjádřit následovně:

Diamantový princip platí v univerzu konstruovatelných množin, vyplývá tedy z axiomu konstruovatelnosti.
Z diamantového principu plyne hypotéza kontinua. Důkaz tohoto tvrzení je velmi snadný.
Diamantový princip implikuje rovněž existenci Suslinova stromu a tedy neplatnost Suslinovy hypotézy.

Zobecnění

Diamantový princip lze zobecnit následujícím způsobem na tvrzení $\diamond _{\lambda }(I)$ , kde $\lambda$ je nespočetný regulární kardinál a $I\subseteq \lambda$ :

Existuje posloupnost $(M_{\alpha };\,\alpha \in I)$ množin taková, že $M_{\alpha }\subseteq \alpha$ a pro každou množinu $X\subseteq \lambda$ je $\{\alpha ;X\cap \alpha =M_{\alpha }\}$ stacionární množina v $\,\lambda \,\!$ .

Místo $\diamond _{\lambda }(\lambda )$ se píše pouze $\diamond _{\lambda }$ . Klasický diamantový princip $\,\diamond$ pak odpovídá $\diamond _{\omega _{1}}$ .......

Odkazy

Literatura

BALCAR, Bohuslav; ŠTĚPÁNEK, Petr. Teorie množin. 2. opr. a rozš. vyd. [s.l.]: Academia, 2001. ISBN 80-200-0470-X.

Související články