Cauchyho rovnice dynamické rovnováhy

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Cauchyho rovnice dynamické rovnováhy je parciální diferenciální rovnice, která vychází ze zachování hybnosti v kontinuu. Platí pro transport hybnosti v libovolném kontinuu, kde se neuplatňují relativistické jevy.

Kde je hustota kontinua, je tenzor napětí a je vektor objemových sil, obvykle představovaných gravitací. je vektorové pole rychlostí kontinua a má za proměnné čas a souřadnice systému.

Po rozložení tenzoru napětí na odborných izotopových a neizotropnú část, získáme:

Kde je tenzor viskózního (tangenciálního) napětí a je tlak (normálové napětí).

Všechny rovnice popisující nerelativistické kontinuum vycházejí z Cauchyho rovnice dynamické rovnováhy. Cauchyho rovnice dynamické rovnováhy je jednou ze základních rovnic popisujících transportní fenomény. Při praktickém použití narážíme na překážky - analytické vyjádření tenzoru napětí je složité, nebo neznámé, proto se rovnice přímo nepoužívá. Po dosazení patřičného vztahu pro viskozitu dostaneme Navierovu-Stokesovu rovnici.

Pokud je kontinuum ideální (napětí je představováno pouze tlakem),
ve stacionárním stavu
a mimo gravitačního působení () získáme rovnici:

Tato rovnice je Bernoulliho rovnice v diferenciálním tvaru a po integraci dostaneme konvenční tvar:

Vidíme tak, že Bernoulliho rovnice je důsledkem zachovávání hybnosti v soustavě, pokud vyhovuje některým zjednodušením.

Odvození Cauchyho rovnice[editovat | editovat zdroj]

Napíšeme si zákon síly pro element objemu V, pokud je plocha, která ho obepíná:

Po aplikaci Gaussovy-Ostrogradského věty a sečtení všech složek dostaneme

Jelikož vektorové pole rychlosti je závislé na poloze i od času, derivuje se složená funkce:

Po dosazení do odvozené rovnice zachování:

Q.E.D.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cauchyho rovnica dynamickej rovnováhy na slovenské Wikipedii.

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • Šesták, J., Rieger, F .: Přenos hybnosti, tepla a hmoty, ČVUT Praha 1998