Boothův algoritmus
Boothův algoritmus je algoritmus na násobení dvou binárních čísel se znaménkem v dvojkovém doplňku.
Algoritmus[editovat | editovat zdroj]
Počet bitů násobence je x, počet bitů násobitele je y.
- Nakreslíme si tři řádky po x + y + 1 místech (bitech), označíme je A, B a C.
- Nejvyšších (nejvíce nalevo) x bitů každého řádku se vyplní v dvojkovém doplňku takto:
- A: násobenec
- B: minus násobenec
- C: nuly
- Dalších y bitů každého řádku se vyplní takto:
- A: nuly
- B: nuly
- C: násobitel
- Do posledního bitů každého řádku se napíše nula.
- Poté se následující kroky opakují y-krát:
- Pokud jsou poslední dva bity řádku C:
- 00 nebo 11: nedělá se nic
- 01: C = C + A. Přetečení se ignoruje.
- 10: C = C + B. Přetečení se ignoruje.
- Řádek C se (aritmeticky) posune o jedno místo doprava.
- Pokud jsou poslední dva bity řádku C:
- Poslední bit součinu (řádku C) se zahodí.
Příklad[editovat | editovat zdroj]
3 × -4:
- A = 0011 0000 0
- B = 1101 0000 0
- C = 0000 1100 0
- Cyklus se provede čtyřikrát:
- C = 0000 1100 0. Poslední dva bity jsou 00.
- C = 0000 0110 0. Posun vpravo.
- C = 0000 0110 0. Poslední dva bity jsou 00.
- C = 0000 0011 0. Posun vpravo.
- C = 0000 0011 0. Poslední dva bity jsou 10.
- C = 1101 0011 0. C = C + B.
- C = 1110 1001 1. Posun vpravo.
- C = 1110 1001 1. Poslední dva bity jsou 11.
- C = 1111 0100 1. Posun vpravo.
- Výsledek je 1111 01002 = -1210.
Proč algoritmus funguje[editovat | editovat zdroj]
Uvažme kladný násobitel sestávající z posloupnosti jedniček obklopené nulami. Např. 00111110. Součin je dán:
- ,
kde N je násobenec. Počet operací se dá redukovat na dvě přepsáním téhož jako
Součin lze pak dostat jedním přičtením a jedním odečtením násobence. Tento postup se dá rozšířit na jakýkoliv počet posloupností jedniček v násobiteli (včetně jedné jedničky v kuse). Čili:
Boothův algoritmus se drží tohoto postupu přičtením, pokud narazí na první číslici z posloupnosti jedniček (0 1), a odečtením, pokud narazí na konec posloupnosti (1 0). Toto funguje také pro záporný násobitel. Jestliže se jedničky v násobiteli vyskytují v dlouhých blocích za sebou, vykoná Boothův algoritmus méně přičítání a odečítání než normální multiplikační algoritmus
Historie[editovat | editovat zdroj]
Algoritmus byl vynalezen Andrewem Boothem v roce 1951 při výzkumu krystalografie na Univerzitě v Birkbecku. Booth používal kalkulátory, které měly rychlejší operaci posunu než sčítání, a vytvořil proto algoritmus, aby je urychlil.