Prüferova grupa

Prüferova 2-grupa

V teorii grup se pro prvočíslo p rozumí Prüferovou p-grupou taková p-grupa, v které má každý prvek p ptých odmocnin. Pro každé p existuje (až na izomorfismus) právě jedna Prüferova grupa a je značena $\mathbb {Z} (p^{\infty })$.

Prüferovy grupy jsou pojmenovány po německém matematikovi Heinzovi Prüferovi. Jedná se o spočetné Abelovy grupy. Prüferovy grupy mohou být reprezentovány podmnožinou komplexní jednotkové kružnice, do které jsou zařazeny právě všechny $p^{n}$té odmocniny z jedné (násobení odpovídá skládání otáčení).

Prüferovy grupy jsou divizibilní grupy, t.j. rovnice $x^{n}=a$ má řešení pro libovolné celé číslo $n$ a libovolný prvek grupy $a$. Naopak každá divizibilní Abelova grupa je izomorfní přímému součtu Prüferových grup a kopií aditivní grupy racionálních čísel $(\mathbb {Q} ,+)$.