Wikipedista:Jerabekjak/Pískoviště

Richardsova rovnice popisuje proudění proudění nenasyceným půdním prostředím. Byla odvozena L. A. Richardsem z rovnice kontinuity a Darcy-Buckinghamova zákona. Jedná se nelineární parabolickou parciální rovnici. Analytické řešení proto existuje pouze pro specifickou geometrii a okrajové podmínky.^[zdroj?] Richardsova rovnice může bít zapsána například ve tvaru

${\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\nabla \cdot K(h)\nabla h+{\frac {\partial K}{\partial z}},$

kde

$\theta$ je objemová vlhkost [$L^{3}.L^{-3}$],

$t$ je čas,

$K(h)$ je nenasycená hydraulická vodivost [$L.t^{-1}$] a

$h$ je sací tlak [$L$].

Odvození 1D vertikálního problému

Rovnice kontinuity pro částečně půdní prostření lze zapsat ve tvaru

${\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\nabla \cdot q,$

kde $q$ je Darcyovská rychlost [$L.t^{-1}$], která vychází z Darcyho zákona a která lze pro 1D vertikální proudění zapsat jako

$q=K(h){\frac {\partial \Psi }{\partial z}},$

kde $\Psi$je celkový půdní potenciál [$L$].

Po substituci Darcyho zákona do rovnice kontinuity (pro 1D) vzniká rovnice

${\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left(K(h){\frac {\partial \Psi }{\partial z}}\right).$

Celkový potenciál $\Psi$má 2 složky: sací tlak $h$a geodetickou výšku $z$. Derivace ${\frac {\partial \Psi }{\partial z}}$lze tedy zapsat jako

${\frac {\partial \Psi }{\partial z}}={\frac {\partial h}{\partial z}}+{\frac {\partial z}{\partial z}}={\frac {\partial h}{\partial z}}+1,$

protože geodetická výška se ve vertikální problému mění přesně stejně ve směru řešení. Pod dosazení této úpravy do předchozí rovnice a úpravách vznikne Richardsova rovnice:

${\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left(K(h){\frac {\partial h}{\partial z}}\right)+{\frac {\partial K}{\partial z}}.$