Těžiště

Těžiště (hmotný střed) je působiště tíhové síly působící na těleso. Ve skutečnosti je mezi pojmy těžiště a hmotný střed principiální rozdíl. Těžiště zavádíme jako působiště výslednice tíhových sil působících na jednotlivé části tělesa v tíhovém poli (nebo také můžeme říct, že je to bod, vůči němuž je výsledný moment působících tíhových sil nulový). Pojem těžiště tedy ztrácí význam v beztížném stavu. Hmotný střed je bod, který je pevně určen tvarem tělesa a rozložením hustoty. Nezávisí na přítomnosti vnějšího silového pole. V homogenním tíhovém poli (např. v těsné blízkosti zemského povrchu) oba pojmy splývají a velmi často se používají jako synonyma. V nehomogenním tíhovém poli je však nutno oba pojmy rozlišovat.

Těžiště je takový bod, že působení tíhové síly na něj má stejný účinek jako působení na celé těleso. Má-li být těleso podepřeno (nebo zavěšeno) v jednom bodě tak, aby tíhová síla byla vyrovnána, pak svislá těžnice musí procházet bodem podepření nebo závěsu.

Určování polohy těžiště:

• U stejnorodého geometrického pravidelného tělesa leží těžiště v jeho geometrickém středu (geometrickém těžišti).

• Těžiště leží v průsečíku těžnic při postupném zavěšení tělesa v nejméně dvou různých bodech.

• Výpočtem (jednotlivé souřadnice x_T, y_T, z_T těžiště se počítají nezávisle na sobě):

$x_{T}={\frac {\int x\ dm}{m}}$, neboli podíl integrace x-ové souřadnice bodu tělesa podle hmotnosti pro celou hmotnost tělesa m (statický moment) a hmotnosti tělesa

nebo:

$x_{T}={\frac {\sum m_{i}x_{i}}{m}}$, kde m_i je hmotnost i-té části tělesa, x_i je poloha těžiště v i-té části, Σ představuje součet pro všechna i, m je hmotnost celého tělesa.

nebo vektorově:

$\mathbf {x_{T}} ={\frac {\sum m_{i}\mathbf {x_{i}} }{m}}$, kde m_i je hmotnost i-té části tělesa, x_i je vektor polohy těžiště v i-té části, Σ představuje součet pro všechna i, m je hmotnost celého tělesa.

Těžiště může ležet i mimo těleso (například v jeho dutině).

Jestliže spojíme dvě tělesa v jedno, bude jeho těžiště ležet na úsečce spojující těžiště obou částí.

Odvození základní rovnice těžiště

Těžiště je bod, kde se vyrovnávají kroutící momenty obou propojených hmotných bodů.

Kroutící moment čili moment síly v bodě m₁ vůči těžišti je roven m₁g(x_T-x₁).

Součin m₁g je gravitační síla.

Rozdíl (x_T-x₁) je délka ramena páky.

g = gravitační zrychlení [m/s²]

m = hmostnost [kg]

x = souřadnice x [m]

Jestliže dva hmotné body jsou pevně propojeny, pak jejich těžiště leží na úsečce mezi nimi, kde se vyrovnávají jejich momenty sil (kroutící momenty čili síla krát poloměr otáčení), viz páka.

${\begin{matrix}(x_{T}-x_{1})m_{1}g=(x_{2}-x_{T})m_{2}g\\x_{T}(m_{1}+m_{2})=x_{1}m_{1}+x_{2}m_{2}\\m=m_{1}+m_{2}\\x_{T}={\frac {x_{1}m_{1}+x_{2}m_{2}}{m}}={\frac {\sum m_{i}x_{i}}{m}}\end{matrix}}$

Barycentrum

Hmotný střed, kolem kterého obíhají kosmická tělesa na svých drahách, se nazývá barycentrum. U dvou těles stejné hmotnosti je barycentrum uprostřed spojnice jejich těžišť, u těles s výrazně rozdílnou hmotností leží barycentrum uvnitř hmotnějšího tělesa. Barycentrum leží vzhledem k poměru hmotnosti obou těles na spojnici Měsíc-Země asi 1700 km pod zemským povrchem. Barycentrum sluneční soustavy je při rovnoměrnějším rozložení planet uvnitř Slunce, v jiné roky zase vně.

Rovnovážné polohy tělesa

Těleso a jeho těžiště se vždy nachází v nějaké rovnovážné poloze.

Polohy jsou tři

1. Stálá (stabilní) rovnovážná poloha
2. Vratká (labilní) rovnovážná poloha
3. Volná (indiferentní) rovnovážná poloha

Související články

• Mechanika
• Mechanika tuhého tělesa

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu těžiště na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo těžiště ve Wikislovníku

Autoritní data	PSH: 2948