Přirozená transformace

Přirozená transformace $\eta$ z funktoru $F:C\rightarrow D$ do $G:C\rightarrow D$ je v teorii kategorií soubor morfismů $\eta _{X}:F(X)\rightarrow G(X)$ takový, že pro každý morfismus $f:X\rightarrow Y$ platí $G(f)\circ \eta _{X}=\eta _{Y}\circ F(f)$. Je-li $\eta _{X}$ pro každé X isomorfismem, nazýva se $\eta$ přirozenou ekvivalencí. Příkladem isomorfismu používaným ve funkcionálním programování je ${\textrm {Hom}}(X\otimes Y,Z)\cong {\textrm {Hom}}(X,Z^{Y})$.

Skládání přirozených transformací

Přirozené transformace lze skládat vertikálně a horizontálně. Jsou-li $F,G,H:C\rightarrow D$ funktory a $\eta :F\rightarrow G,\varepsilon :G\rightarrow H$ přirozené transformace, pak $(\varepsilon \eta )_{X}=\varepsilon _{X}\eta _{X}$. Naopak je-li $\eta :F\rightarrow G$ pro $F,G:C\rightarrow D$ a $\varepsilon :J\rightarrow K$ pro $J,K:D\rightarrow E$, pak existuje $(\varepsilon \eta )_{X}:JF\rightarrow KG$, jež je vzhledem k vlastnostem přirozených transformací dobře definovaná.

Programovací jazyky

V programovacích jazycích odpovídají generickým typům funktory, pokud poskytují operaci fmap mapující funkce na funkce. Přirozenou transformací typu T, jsou-li dány například generické typy List<T> and Set<T>, je generická funkce List<T>→Set<T>. V tomto kontextu existují pouze vertikální přirozené transformace nad endofunktory. Přirozené transformace jsou také nedílnou součástí definice monád a monadických operátorů.