Liouvilleův teorém

Liouvilleův teorém je mechanický princip, který má uplatnění zejména ve statistické fyzice.

Teorém říká, že objem určité oblasti ve fázovém prostoru (tedy prostoru zobecněných souřadnic a hybností) se během pohybu (ten je dán Hamiltonovými rovnicemi) nemění, tento objem může pouze měnit svůj tvar.

Zobecněním principu je invariance fázového objemu vůči všem kanonickým transformacím (jednou z nich je právě pohyb).

Jeho důkaz pro jednu dimenzi vychází z jakobiánu a poissonových závorek. Při počítání objemu fázového prostoru v nových souřadnicích integrujeme:

$\int_\Omega \mathrm{d}P \mathrm{d} Q = \int_\Omega |J| \mathrm{d}p \mathrm{d}q = \int_\Omega |J| \mathrm{d}p \mathrm{d}q$,

kde jakobiján $J$ lze zapsat pomocí Poissonových závorek a vyjde přesně jednička, protože jakobián v sobě obsahuje derivace starých proměnných ($P$ a $Q$) podle nových ($p$ a $q$):

$J = \frac{\partial Q}{\partial q} \frac{\partial P}{\partial p} - \frac{\partial P}{\partial q} \frac{\partial Q}{\partial p} = \{Q,\, P\}|_{q,\, p} = 1$.