Těžiště

Těžiště (hmotný střed) je působiště tíhové síly působící na těleso. Ve skutečnosti je mezi pojmy těžiště a hmotný střed principiální rozdíl. Těžiště zavádíme jako působiště výslednice tíhových sil působících na jednotlivé části tělesa v tíhovém poli (nebo také můžeme říci, že je to bod, vůči němuž je výsledný moment působících tíhových sil nulový). Pojem těžiště tedy ztrácí význam v beztížném stavu. Hmotný střed je bod, který je pevně určen tvarem tělesa a rozložením hustoty. Nezávisí na přítomnosti vnějšího silového pole. V homogenním tíhovém poli (např. v těsné blízkosti zemského povrchu) oba pojmy splývají a velmi často se používají jako synonyma. V nehomogenním tíhovém poli je však nutno oba pojmy rozlišovat.

Těžiště je takový bod, že působení tíhové síly na něj má stejný účinek jako působení na celé těleso. Má-li být těleso podepřeno (nebo zavěšeno) v jednom bodě tak, aby tíhová síla byla vyrovnána, pak svislá těžnice musí procházet bodem podepření nebo závěsu.

Určování polohy těžiště

U stejnorodého geometrického pravidelného tělesa leží těžiště v jeho geometrickém středu (geometrickém těžišti).

Těžiště leží v průsečíku těžnic při postupném zavěšení tělesa v nejméně dvou různých bodech.

Výpočtem (jednotlivé souřadnice x_T, y_T, z_T těžiště se počítají nezávisle na sobě):

x_{T}={\frac {\int x\ dm}{m}}

, neboli podíl integrace x-ové souřadnice bodu tělesa podle hmotnosti pro celou hmotnost tělesa m (statický moment) a hmotnosti tělesa

nebo:

x_{T}={\frac {\sum m_{i}x_{i}}{m}}

, kde m_i je hmotnost i-té části tělesa, x_i je poloha těžiště v i-té části, Σ představuje součet pro všechna i, m je hmotnost celého tělesa.

nebo vektorově:

\mathbf {x_{T}} ={\frac {\sum m_{i}\mathbf {x_{i}} }{m}}

, kde m_i je hmotnost i-té části tělesa, x_i je vektor polohy těžiště v i-té části, Σ představuje součet pro všechna i, m je hmotnost celého tělesa.

Těžiště může ležet i mimo těleso (například v jeho dutině).

Jestliže spojíme dvě tělesa v jedno, bude jeho těžiště ležet na úsečce spojující těžiště obou částí.

Odvození základní rovnice těžiště

Těžiště je bod, kde se vyrovnávají kroutící momenty obou propojených hmotných bodů.
Kroutící moment čili moment síly v bodě m₁ vůči těžišti je roven m₁g(x_T − x₁).
Součin m₁g je gravitační síla.
Rozdíl (x_T − x₁) je délka ramena páky.
g = gravitační zrychlení [m/s²]
m = hmotnost [kg]
x = souřadnice x [m]

Jestliže dva hmotné body jsou pevně propojeny, pak jejich těžiště leží na úsečce mezi nimi, kde se vyrovnávají jejich momenty sil (kroutící momenty čili síla krát poloměr otáčení), viz páka.

${\begin{matrix}(x_{T}-x_{1})m_{1}g=(x_{2}-x_{T})m_{2}g\\x_{T}(m_{1}+m_{2})=x_{1}m_{1}+x_{2}m_{2}\\m=m_{1}+m_{2}\\x_{T}={\frac {x_{1}m_{1}+x_{2}m_{2}}{m}}={\frac {\sum m_{i}x_{i}}{m}}\end{matrix}}$

Všechny výše uvedené vztahy pro těžiště lze jednoduše odvodit z momentové rovnováhy sil. Tj. výpočet těžiště vyplývá také z Varignonovy věty (nazývaná také jako momentová věta či ve fyzice známá jako 2. věta impulsová), která zní „Algebraický součet statických momentů všech sil v soustavě k libovolně zvolenému momentovému středu je roven statickému momentu výslednice této soustavy k témuž středu.^[1]

Barycentrum

Hmotný střed, kolem kterého obíhají kosmická tělesa na svých drahách, se nazývá barycentrum. U dvou těles stejné hmotnosti je barycentrum uprostřed spojnice jejich těžišť, u těles s výrazně rozdílnou hmotností leží barycentrum uvnitř hmotnějšího tělesa. Barycentrum leží vzhledem k poměru hmotnosti obou těles na spojnici Měsíc–Země asi 1700 km pod zemským povrchem.^[2] Barycentrum sluneční soustavy je při rovnoměrnějším rozložení planet uvnitř Slunce, v jiné roky zase vně.

Těžiště člověka a živých tvorů

Poloha těžiště těla člověka nebo živých tvorů je obecně proměnlivá v závislosti na pohybu člověka a jeho segmentů, na okamžitém množství přijaté či vyloučené potravy atp.^[1]

Poznámky k výpočtu těžiště tělesa

Výpočet těžiště se vždy zahajuje volbou souřadného systému (od počátku souřadného systému se odměřují souřadnice lokálních těžišť). V závislosti na volbě souřadného systému, mohou být lokální nebo výsledné souřadnice těžiště kladné, nulové nebo záporné.^[1]

Mnoho technických profilů je tabelizovaných a těžiště plochy a další parametry průřezu lze nalézt v tabulkách.^[1]

Reference

↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g FRYDRÝŠEK, Karel. Biomechanika 1. 1. vyd. Ostrava: VSB - Technical University of Ostrava, Faculty of Mechanical Engineering, Department of Applied Mechanics, 2019. 461 s. ISBN 978-80-248-4263-9.
↑ KLEZCEK, Josip. Velká encyklopedie vesmíru. 1. vyd. Praha: Academia, 2002. ISBN 80-200-0906-X. S. 503.

Související články

Externí odkazy

Pokusy: Těžiště - ČT edu - Česká televize (ceskatelevize.cz)
Obrázky, zvuky či videa k tématu těžiště na Wikimedia Commons
Slovníkové heslo těžiště ve Wikislovníku

[:0-1] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g FRYDRÝŠEK, Karel. Biomechanika 1. 1. vyd. Ostrava: VSB - Technical University of Ostrava, Faculty of Mechanical Engineering, Department of Applied Mechanics, 2019. 461 s. ISBN 978-80-248-4263-9.

[2] KLEZCEK, Josip. Velká encyklopedie vesmíru. 1. vyd. Praha: Academia, 2002. ISBN 80-200-0906-X. S. 503.

[1]

[2]