Deformace

Pojmem deformace tělesa rozumíme změnu jeho tvaru. Těleso mění tvar v důsledku působení síly. Silové působení mění vzájemné polohy atomů, ze kterých se těleso skládá. V případě, že se po odstranění působící síly těleso vrátí do původního tvaru, mluvíme o pružné (elastické) deformaci. Pružné deformace se vyskytují u pružných látek. V důsledku působení sil může rovněž dojít k nevratným změnám v poloze atomů tělesa. Tvar tělesa se po odeznění působení síly již nevrátí do původního stavu. V takovém případě mluvíme o nepružné deformaci popř. úžeji o plastické deformaci. Tyto deformace lze pozorovat např. u plastických látek.

Síly působící na těleso lze rozlišovat podle druhu napětí, které v tělese vyvolávají na tahové, tlakové, smykové, ohybové nebo torzní.

Neuvažuje-li se při popisu tělesa jeho deformace, mluvíme o tuhém tělesu.

Deformace v mechanice kontinua

V mechanice kontinua lze deformace popsat srovnáním deformovaného a nedeformovaného stavu kontinua.

V čase $t=0$ můžeme popsat polohu částic kontinua jako $y_{j}=y_{j}(x_{i},0)=x_{j}$. V čase $\Delta t$ pak bude poloha odpovídajících částic určena jako $y_{j}=y_{j}(x_{i},\Delta t)$. Lze definovat vektor posunutí $u_{i}$ jako

$u_{i}=y_{i}-x_{i}$

Vektor posunutí má tedy počátek v místě, kde se částice nacházela na počátku sledovaného pohybu a konec v místě konečné polohy částice. Pomocí vektoru posunutí je možné deformační pohyb popsat jako

$y_{j}=x_{j}+u_{j}(x_{i})$

Tento vztah však v sobě zahrnuje nejen deformaci, ale také posunutí a otáčení kontinua jako celku. Pro popis deformací by však bylo vhodné získat z tohoto vztahu pouze část, která je za deformace odpovědná. Toho se dosáhne na základě předpokladu, že při deformacích dochází ke změnám vzdáleností částic kontinua.

Uvažujeme-li libovolný bod $x_{j}$ kontinua a v jeho okolí bod $x_{j}+\mathrm {d} x_{j}$, pak na konci deformačního pohybu se bod z $x_{j}$ přesune do bodu $y_{j}$ a bod $x_{j}+\mathrm {d} x_{j}$ do bodu $y_{j}+\mathrm {d} y_{j}$. Označíme-li vektor posunutí odpovídající bodu $x_{j}$ jako $u_{j}$ a vektor posunutí odpovídající bodu $x_{j}+\mathrm {d} x_{j}$ jako $u_{j}+\mathrm {d} u_{j}$, a uvažujeme-li pouze blízké okolí bodu $x_{j}$, můžeme použít zápis

$\mathrm {d} y_{j}=\mathrm {d} x_{j}+\mathrm {d} u_{j}=\mathrm {d} x_{j}+\left({\frac {\mathrm {d} u_{j}}{\mathrm {d} x_{i}}}\right)\mathrm {d} x_{i}$

Na počátku děje je vzdálenost mezi body $x_{j}$ a $x_{j}+\mathrm {d} x_{j}$ určena jako $\mathrm {d} x_{j}\mathrm {d} x_{j}$. Na konci děje je vzdálenost částic nacházejících se původně v bodech $x_{j}$ a $x_{j}+\mathrm {d} x_{j}$ určena jako $\mathrm {d} y_{j}\mathrm {d} y_{j}$ (kde bylo použito Einsteinovo sumační pravidlo). K popisu deformace kontinua v okolí bodu, jehož počáteční souřadnice jsou $x_{j}$ a konečné $y_{j}$, se použije rozdíl čtverců uvedených délek, tzn. výraz

$\mathrm {d} y_{j}\mathrm {d} y_{j}-\mathrm {d} x_{j}\mathrm {d} x_{j}$

Úpravou předchozích vztahů pak dostáváme

$\mathrm {d} y_{j}\mathrm {d} y_{j}-\mathrm {d} x_{j}\mathrm {d} x_{j}=2\varepsilon _{lk}\mathrm {d} x_{l}\mathrm {d} x_{k}$

kde byl zaveden tzv. tenzor velkých deformací

$\varepsilon _{lk}={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{l}}}+{\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{k}}}+\left({\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{l}}}\right)\left({\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{k}}}\right)\right]$

Tenzor velkých deformací je funkcí souřadnic, tzn. $\varepsilon _{lk}=\varepsilon _{lk}(x_{i})$, a je to symetrický tenzor druhého řádu.

Tenzor malých deformací

Jsou-li deformace malé, jsou malé také změny vektoru posunutí $u_{i}$ se souřadnicemi $x_{j}$, tzn. jsou malé také parciální derivace ${\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}$. V takovém případě je v tenzoru velkých deformací člen $\left({\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{l}}}\right)\left({\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{k}}}\right)$ malý ve srovnání s členy ${\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{l}}}$ a ${\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{k}}}$ a můžeme jej zanedbat. V takovém případě lze deformaci popsat tzv. tenzorem malých deformací

$e_{lk}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{l}}}+{\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{k}}}\right)$

Pro malé deformace lze tedy platí

$\mathrm {d} y_{j}\mathrm {d} y_{j}-\mathrm {d} x_{j}\mathrm {d} x_{j}=2e_{lk}\mathrm {d} x_{l}\mathrm {d} x_{k}\,$

Vyjdeme-li z deformovaného stavu, lze tenzor malých deformací zavést vztahem

${\overline {e}}_{lk}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{k}}{\partial y_{l}}}+{\frac {\partial u_{l}}{\partial y_{k}}}\right)$

a platí

$\mathrm {d} y_{j}\mathrm {d} y_{j}-\mathrm {d} x_{j}\mathrm {d} x_{j}=2{\overline {e}}_{lk}\mathrm {d} y_{l}\mathrm {d} y_{k}$

Pro malé deformace jsou velikosti posunů $\mathrm {d} x_{i}$ v nedeformovaném stavu a jim odpovídající $\mathrm {d} y_{j}$ v deformovaném stavu přibližně stejné a není tedy nutno rozlišovat mezi tenzory malých deformací v nedeformovaném a deformovaném stavu, což znamená, že tenzory malých deformací $e_{ij}$ a ${\overline {e}}_{ij}$ můžeme považovat za ekvivalentní.

Podívejte se také na

• Rotace
• Translace
• Topologická deformace
• Saint-Venantova rovnice
• Rychlost deformace