Rungeova–Kuttova metoda

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Rungeova–Kuttova metoda je metoda pro numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic, kterou kolem roku 1900 vytvořili němečtí matematici Carl Runge a Wilhelm Kutta, případně některá z podobných metod (společně jsou zvané Rungeovy–Kuttovy metody).

Rungeova–Kuttova metoda hledá přibližné řešení rovnice s okrajovou podmínkou Přitom je neznámá skalární nebo vektorová funkce času , kterou chceme aproximovat. Známe funkci , propojující časovou derivaci s hodnotou a časem a známe také počáteční čas a odpovídající hodnotu v tomto čase, která je .

K odhadu klasickou Rungeovou–Kuttovou metodou (též označovanou RK4) je nejprve potřeba zvolit vhodný krok h > 0. Na jeho základě definujeme

pro n = 0, 1, 2, 3, ..., přičemž

Číslo je aproximace hodnoty . Aproximace se počítají jako vážené průměry čtyř jednodušších odhadů . Zdůvodnění tohoto postupu vychází ze Simpsonova pravidla pro integrál rovnice za předpokladu, že nezávisí na .

Popsaná metoda dosahuje v jednom kroku chyby v řádu a celkově akumulované chyby v řádu Neuvažujeme-li vliv zaokrouhlovacích chyb, tak menší krok obvykle vede k přesnějšímu odhadu, avšak za cenu více počítání.