Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V numerické matematice je numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic postup, kterým můžeme získat přibližné řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Používá se v případech, kdy by bylo nalezení přesného (analytického) řešení náročné nebo v případech, kdy analytické řešení nelze najít.

Diferenciální rovnice a její počáteční podmínky bývají často uváděny v tomto tvaru:

Metody řešení[editovat | editovat zdroj]

Funkce f(t,y) (někdy se nazývá stavová rovnice) může být obecně velmi komplikovaná, proto je nutné řešit rovnici numericky. V takovém případě probíhá řešení v diskrétních časových krocích :

je funkce (někdy též směrová funkce), která se snaží aproximovat tak, aby bylo co nejpřesnější.

Eulerova metoda[editovat | editovat zdroj]

(Více viz Eulerova metoda)

Existuje více metod, jak v daném čase získat co nejlepší aproximaci derivace, nejjednodušší je Eulerova metoda:

Metody Runge-Kutta[editovat | editovat zdroj]

Obecně lze metody Runge-Kutta zapsat následovně:

Koeficienty u těchto metod jsou vypočteny tak, aby metoda řádu odpovídala Taylorovu polynomu funkce stejného řádu. (Eulerova metoda je vlastně metodou prvního řádu.)

Často se používá 4bodová metoda Runge-Kutta (RK4), která je čtvrtého řádu.

(Korespondence různých způsobů zápisu: ; ; ; . Korespondence s obecným vzorcem: ; ; ; ; .)

Vícekrokové metody[editovat | editovat zdroj]

U vícekrokových metod je hodnota vypočtena z předchozích hodnot (respektive , ) proložených interpolačním polynomem. Řád metody zde odpovídá řádu interpolačního polynomu. (Eulerova metoda je v podstatě jednokrokovou metodou.)

Obecnou vícekrokovou metodu lze zapsat následovně:

Explicitní metody[editovat | editovat zdroj]

Pokud je , lze hodnotu určit z předchozích hodnot (respektive z předchozích hodnot ) a jedná se o metodu explicitní.

Příklad 1, explicitní metoda Adams-Bashford druhého řádu:

(Korespondence s obecným vzorcem: ; ; ; ; ; .)

Příklad 2, explicitní metoda Adams-Bashford čtvrtého řádu:

Implicitní metody[editovat | editovat zdroj]

Pokud je různé od nuly, je pro výpočet nutná znalost a jedná se o metodu implicitní.

Příklad, implicitní metoda Adams-Moulton čtvrtého řádu:

Metody prediktor-korektor[editovat | editovat zdroj]

Metody prediktor-korektor jsou sloučením explicitních a implicitních metod. Nejprve je použita explicitní metoda pro odhad nového . V tomto bodě je vypočtena derivace , která je následovně použita v implicitní metodě pro výpočet přesnější aproximace .

Související články[editovat | editovat zdroj]