Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic

V numerické matematice je numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic postup, kterým můžeme získat přibližné řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Používá se v případech, kdy by bylo nalezení přesného (analytického) řešení náročné nebo v případech, kdy analytické řešení nelze najít.

Diferenciální rovnice a její počáteční podmínky bývají často uváděny v tomto tvaru:

$y'(t)=f(t,y)$

$y(t_{0})=y_{0}$

Metody řešení

Funkce f(t,y) (někdy se nazývá stavová rovnice) může být obecně velmi komplikovaná, proto je nutné řešit rovnici numericky. V takovém případě probíhá řešení v diskrétních časových krocích $\Delta t$:

$y(t+\Delta t)=y(t)+D(t,y)\Delta t$

$D(t,y)$ je funkce (někdy též směrová funkce), která se snaží aproximovat $y'(t)$ tak, aby $y(t+\Delta t)$ bylo co nejpřesnější.

Eulerova metoda

Podrobnější informace naleznete v článku Eulerova metoda.

Existuje více metod, jak v daném čase získat co nejlepší aproximaci derivace, nejjednodušší je Eulerova metoda:

$D(t,y)=f(t,y)$

Rungeovy–Kuttovy metody

Obecně lze Rungeovy–Kuttovy metody zapsat následovně:

$y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{p}w_{i}k_{i}$

$k_{i}=f(t+\alpha _{i}h,\,y_{n}+h\sum _{j=1}^{i-1}\beta _{ij}k_{j})$

Koeficienty u těchto metod jsou vypočteny tak, aby metoda řádu $p$ odpovídala Taylorovu polynomu funkce $y(t)$ stejného řádu. (Eulerova metoda je vlastně metodou prvního řádu.)

Často se používá čtyřbodová metoda Runge-Kutta (RK4), která je čtvrtého řádu.

$k_{1}=f\left(t_{n},y_{n}\right)$

$k_{2}=f\left(t_{n}+{h \over 2},y_{n}+{h \over 2}k_{1}\right)$

$k_{3}=f\left(t_{n}+{h \over 2},y_{n}+{h \over 2}k_{2}\right)$

$k_{4}=f\left(t_{n}+h,y_{n}+hk_{3}\right)$

$y_{n+1}=y_{n}+{h \over 6}(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4})$

(Korespondence různých způsobů zápisu: $h=\Delta t$; $t_{n}=n\Delta t$; $y_{n}=y(t_{n})$; $D(t,y)=(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4})/6$. Korespondence s obecným vzorcem: $k_{1}=k_{4}=1/6$; $k_{2}=k_{3}=1/3$; $\alpha _{1}=\beta _{31}=\beta _{41}=\beta _{42}=0$; $\alpha _{2}=\alpha _{3}=\beta _{21}=\beta _{32}=1/2$; $\alpha _{4}=\beta _{43}=1$.)

Vícekrokové metody

U vícekrokových metod je hodnota $y_{n+1}$ vypočtena z předchozích hodnot $y_{n-i}$ (respektive $f_{n-i}$, $i=0...k$) proložených interpolačním polynomem. Řád metody zde odpovídá řádu interpolačního polynomu. (Eulerova metoda je v podstatě jednokrokovou metodou.)

Obecnou vícekrokovou metodu lze zapsat následovně:

$y_{n+1}=\sum _{i=0}^{r}\alpha _{i}y_{n-i}+h\sum _{j=-1}^{s}\beta _{j}f_{n-j}$

Explicitní metody

Pokud je $\beta _{-1}=0$, lze hodnotu $y_{n+1}$ určit z $r+1$ předchozích hodnot $y_{n}$ (respektive z $s+1$ předchozích hodnot $f_{n}$) a jedná se o metodu explicitní.

Příklad 1, explicitní metoda Adams-Bashford druhého řádu:

$y_{n+1}=y_{n}+h\left({3 \over 2}f(t_{n},y_{n})-{1 \over 2}f(t_{n-1},y_{n-1})\right)$

(Korespondence s obecným vzorcem: $r=0$; $\alpha _{0}=1$; $s=1$; $\beta _{-1}=0$; $\beta _{0}=3/2$; $\beta _{1}=-1/2$.)

Příklad 2, explicitní metoda Adams-Bashford čtvrtého řádu:

$y_{n+1}=y_{n}+{\frac {h}{24}}\left(55f_{n}-59f_{n-1}+37f_{n-2}-9f_{n-3}\right)$

Implicitní metody

Pokud je $\beta _{-1}$ různé od nuly, je pro výpočet $y_{n+1}$ nutná znalost $f_{n+1}$ a jedná se o metodu implicitní.

Příklad, implicitní metoda Adams-Moulton čtvrtého řádu:

$y_{n+1}=y_{n}+{\frac {h}{24}}\left(9f_{n+1}+19f_{n}-5f_{n-1}+f_{n-2}\right)$

Metody prediktor-korektor

Metody prediktor-korektor jsou sloučením explicitních a implicitních metod. Nejprve je použita explicitní metoda pro odhad nového $y_{n+1}$. V tomto bodě je vypočtena derivace $f_{n+1}$, která je následovně použita v implicitní metodě pro výpočet přesnější aproximace $y_{n+1}$.

Související články

• Konvergence numerické metody
• Stabilita numerické metody
• Numerické řešení soustav lineárních rovnic

Portály: Matematika