Jacobiho eliptické funkce

Eliptické Legenderovy (Jacobiovy) funkce jsou zobecněním funkcí sinus a kosinus. Funkci sinusamplituda lze definovat jako inverzní funkci k eliptickému integrálu prvního druhu

$u=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{{\sqrt {1-t^{2}}}{\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}}}=F(k,\arcsin x),\quad x\in (0,1)$$u=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{{\sqrt {1-t^{2}}}{\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}}}=F(k,\arcsin x),\quad x\in (0,1)$.

Máme pak tedy

$x=\operatorname {sn} \,u$$x=\operatorname {sn}\,u$

na intervalu $u\in (0,K)$$u\in (0,K)$, kde $K=F(k,{\frac {\pi }{2}})$$K=F(k,{\frac {\pi }{2}})$. Tuto funkci lze sudě rozšířit kolem bodu $u=K$$u=K$ a výsledek liše rozšířit kolem bodu $u=0$$u=0$. Výsledná funkce s definičním oborem délky $4K$$4K$ se periodicky rozšíří na celá reálná čísla. Výsledná funkce je nekonečně spojitě diferencovatelná.

Funkci $\operatorname {cn} \,u$$\operatorname {cn}\,u$ lze pak definovat analogicky jako u goniometrických funkcí, tedy

$\operatorname {cn} ^{2}u=1-\operatorname {sn} ^{2}u$$\operatorname {cn}^{2}u=1-\operatorname {sn}^{2}u$,

přitom znamínko je voleno tak, aby výsledná funkce byla spojitá a měla spojitou derivaci a navíc $\operatorname {cn} \,0=1$$\operatorname {cn}\,0=1$, stejně jako u kosinu.

Na rozdíl od obyčejných goniometrických funkcí, v případě funkcí eliptických je užitečné ještě definovat funkci deltaamplituda:

$\operatorname {dn} ^{2}\,u=1-k^{2}\operatorname {sn} ^{2}\,u$$\operatorname {dn}^{2}\,u=1-k^{2}\operatorname {sn}^{2}\,u$

Opět s podmínkou spojitosti včetně derivace a $\operatorname {dn} \,0=1$$\operatorname {dn}\,0=1$.

Zatímco funkce $\operatorname {sn}$$\operatorname {sn}$, respektive $\operatorname {cn}$$\operatorname {cn}$ přejdou pro $k=0$$k=0$ v $\sin$$\sin$ a $\cos$$\cos$, funkce $\operatorname {dn}$$\operatorname {dn}$ přejde v identickou jedničku.

Lze odvodit tuto sérii vztahů analogických vztahům pro goniometrické funkce:

$\operatorname {sn} (-u)=-\operatorname {sn} \,u\quad \operatorname {cn} (-u)=\operatorname {cn} \,u\quad \operatorname {dn} (-u)=\operatorname {dn} \,u$$\operatorname {sn}(-u)=-\operatorname {sn}\,u\quad \operatorname {cn}(-u)=\operatorname {cn}\,u\quad \operatorname {dn}(-u)=\operatorname {dn}\,u$

$\operatorname {sn} ^{2}u+\operatorname {cn} ^{2}u=1\quad \operatorname {dn} ^{2}u-k^{2}\operatorname {cn} ^{2}u=1-k^{2}\quad \operatorname {dn} ^{2}u+k^{2}\operatorname {sn} ^{2}u=1$$\operatorname {sn}^{2}u+\operatorname {cn}^{2}u=1\quad \operatorname {dn}^{2}u-k^{2}\operatorname {cn}^{2}u=1-k^{2}\quad \operatorname {dn}^{2}u+k^{2}\operatorname {sn}^{2}u=1$

${\frac {d}{du}}\operatorname {sn} \,u=\operatorname {cn} \,u\,\operatorname {dn} \,u\quad {\frac {d}{du}}\operatorname {cn} \,u=-\operatorname {sn} \,u\,\operatorname {dn} \,u\quad {\frac {d}{du}}\operatorname {dn} \,u=-k^{2}\operatorname {sn} \,u\,\operatorname {cn} \,u$${\frac {d}{du}}\operatorname {sn}\,u=\operatorname {cn}\,u\,\operatorname {dn}\,u\quad {\frac {d}{du}}\operatorname {cn}\,u=-\operatorname {sn}\,u\,\operatorname {dn}\,u\quad {\frac {d}{du}}\operatorname {dn}\,u=-k^{2}\operatorname {sn}\,u\,\operatorname {cn}\,u$

Je tedy zřejmé, že funkci deltaamplituda je zavedena zejména pro snazší zápis derivací $\operatorname {sn}$$\operatorname {sn}$ a $\operatorname {cn}$$\operatorname {cn}$.

Reálné kyvadlo

Pokud se zajímáme o pohyb reálného kyvadla délky $l$$l$, tedy když není použita aproximace malých vychýlení, je výsledný pohyb dán právě eliptickými funkcemi. V části o eliptickém integrálu byla odvozena perioda kmitu reálného kyvadla s maximální výchylkou $\psi _{0}$$\psi _{0}$. Zajímáme-li se i o to, za jakou dobu se kyvadlo vychýlí z nuly do nějakého úhlu $\phi <\psi _{0}$$\phi <\psi _{0}$, je tento čas dán jako integrál

$t={\sqrt {\frac {l}{g}}}\int _{0}^{\arcsin {\frac {\sin {\frac {\phi }{2}}}{\sin {\frac {\psi _{0}}{2}}}}}{\frac {d\psi }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\psi _{0}}{2}}\sin ^{2}\psi }}}$$t={\sqrt {{\frac {l}{g}}}}\int _{0}^{{\arcsin {\frac {\sin {\frac {\phi }{2}}}{\sin {\frac {\psi _{0}}{2}}}}}}{\frac {d\psi }{{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\psi _{0}}{2}}\sin ^{2}\psi }}}}$.

Provedeme-li v integrálu substituci za $\sin \psi$$\sin \psi$ a budeme-li výchylku kyvadla vyjadřovat pomocí souřadnice $\xi$$\xi$, kde

$\xi ={\frac {\sin {\frac {\phi }{2}}}{\sin {\frac {\psi _{0}}{2}}}}$$\xi ={\frac {\sin {\frac {\phi }{2}}}{\sin {\frac {\psi _{0}}{2}}}}$ ,

dostaneme vyjádření $t={\sqrt {\frac {l}{g}}}\int _{0}^{\xi }{\frac {dp}{{\sqrt {1-p^{2}}}{\sqrt {1-k^{2}p^{2}}}}}$$t={\sqrt {{\frac {l}{g}}}}\int _{0}^{{\xi }}{\frac {dp}{{\sqrt {1-p^{2}}}{\sqrt {1-k^{2}p^{2}}}}}$,

kde bylo označeno $k=\sin {\frac {\psi _{0}}{2}}$$k=\sin {\frac {\psi _{0}}{2}}$.

Dle předchozí definice eliptických funkcí je pak pohyb kyvadla dán takto

$\xi (t)=\operatorname {sn} \,\omega t$$\xi (t)=\operatorname {sn}\,\omega t$,

kde $\omega$$\omega$ je úhlová frekvence kyvadla při malých výchylkách, tedy

$\omega ={\sqrt {\frac {g}{l}}}$$\omega ={\sqrt {{\frac {g}{l}}}}$.