Jacobiho eliptické funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Eliptické Legenderovy (Jacobiovy) funkce jsou zobecněním funkcí sinus a kosinus. Funkci sinusamplituda lze definovat jako inverzní funkci k eliptickému integrálu prvního druhu

.

Máme pak tedy

na intervalu , kde . Tuto funkci lze sudě rozšířit kolem bodu a výsledek liše rozšířit kolem bodu . Výsledná funkce s definičním oborem délky se periodicky rozšíří na celá reálná čísla. Výsledná funkce je nekonečně spojitě diferencovatelná.

Funkci lze pak definovat analogicky jako u goniometrických funkcí, tedy

,

přitom znamínko je voleno tak, aby výsledná funkce byla spojitá a měla spojitou derivaci a navíc , stejně jako u kosinu.

Na rozdíl od obyčejných goniometrických funkcí, v případě funkcí eliptických je užitečné ještě definovat funkci deltaamplituda:

Opět s podmínkou spojitosti včetně derivace a .

Zatímco funkce , respektive přejdou pro v a , funkce přejde v identickou jedničku.

Lze odvodit tuto sérii vztahů analogických vztahům pro goniometrické funkce:

Je tedy zřejmé, že funkci deltaamplituda je zavedena zejména pro snazší zápis derivací a .

Reálné kyvadlo[editovat | editovat zdroj]

Pokud se zajímáme o pohyb reálného kyvadla délky , tedy když není použita aproximace malých vychýlení, je výsledný pohyb dán právě eliptickými funkcemi. V části o eliptickém integrálu byla odvozena perioda kmitu reálného kyvadla s maximální výchylkou . Zajímáme-li se i o to, za jakou dobu se kyvadlo vychýlí z nuly do nějakého úhlu , je tento čas dán jako integrál

.

Provedeme-li v integrálu substituci za a budeme-li výchylku kyvadla vyjadřovat pomocí souřadnice , kde

,

dostaneme vyjádření ,

kde bylo označeno .

Dle předchozí definice eliptických funkcí je pak pohyb kyvadla dán takto

,

kde je úhlová frekvence kyvadla při malých výchylkách, tedy

.