Eliptické Legenderovy (Jacobiovy) funkce jsou zobecněním funkcí sinus a kosinus. Funkci sinusamplituda lze definovat jako inverzní funkci k eliptickému integrálu prvního druhu
.
Máme pak tedy

na intervalu
, kde
. Tuto funkci lze sudě rozšířit kolem bodu
a výsledek liše rozšířit kolem bodu
. Výsledná funkce s definičním oborem délky
se periodicky rozšíří na celá reálná čísla. Výsledná funkce je nekonečně spojitě diferencovatelná.
Funkci
lze pak definovat analogicky jako u goniometrických funkcí, tedy
,
přitom znamínko je voleno tak, aby výsledná funkce byla spojitá a měla spojitou derivaci a navíc
, stejně jako u kosinu.
Na rozdíl od obyčejných goniometrických funkcí, v případě funkcí eliptických je užitečné ještě definovat funkci deltaamplituda:

Opět s podmínkou spojitosti včetně derivace a
.
Zatímco funkce
, respektive
přejdou pro
v
a
, funkce
přejde v identickou jedničku.
Lze odvodit tuto sérii vztahů analogických vztahům pro goniometrické funkce:



Je tedy zřejmé, že funkci deltaamplituda je zavedena zejména pro snazší zápis derivací
a
.
Pokud se zajímáme o pohyb reálného kyvadla délky
, tedy když není použita aproximace malých vychýlení, je výsledný pohyb dán právě eliptickými funkcemi. V části o eliptickém integrálu byla odvozena perioda kmitu reálného kyvadla s maximální výchylkou
. Zajímáme-li se i o to, za jakou dobu se kyvadlo vychýlí z nuly do nějakého úhlu
, je tento čas dán jako integrál
.
Provedeme-li v integrálu substituci za
a budeme-li výchylku kyvadla vyjadřovat pomocí souřadnice
, kde
,
dostaneme vyjádření
,
kde bylo označeno
.
Dle předchozí definice eliptických funkcí je pak pohyb kyvadla dán takto
,
kde
je úhlová frekvence kyvadla při malých výchylkách, tedy
.