Jacobiho eliptické funkce

Eliptické Legenderovy (Jacobiovy) funkce jsou zobecněním funkcí sinus a kosinus. Funkci sinusamplituda lze definovat jako inverzní funkci k eliptickému integrálu prvního druhu

$u=\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}\sqrt{1-k^2 t^2}}=F(k,\arcsin x), \quad x\in (0,1)$.

Máme pak tedy

$x=\operatorname{sn}\, u$

na intervalu $u\in (0,K)$, kde $K=F(k,\frac{\pi}{2})$. Tuto funkci lze sudě rozšířit kolem bodu $u=K$ a výsledek liše rozšířit kolem bodu $u=0$. Výsledná funkce s definičním oborem délky $4K$ se periodicky rozšíří na celá reálná čísla. Výsledná funkce je nekonečně spojitě diferencovatelná.

Funkci $\operatorname{cn}\, u$ lze pak definovat analogicky jako u goniometrických funkcí, tedy

$\operatorname{cn}^2 u = 1 -\operatorname{sn}^2 u$,

přitom znamínko je voleno tak, aby výsledná funkce byla spojitá a měla spojitou derivaci a navíc $\operatorname{cn}\, 0 =1$, stejně jako u kosinu.

Na rozdíl od obyčejných goniometrických funkcí, v případě funkcí eliptických je užitečné ještě definovat funkci deltaamplituda:

$\operatorname{dn}^2 \, u = 1-k^2 \operatorname{sn}^2 \, u$

Opět s podmínkou spojitosti včetně derivace a $\operatorname{dn} \, 0=1$.

Zatímco funkce $\operatorname{sn}$, respektive $\operatorname{cn}$ přejdou pro $k=0$ v $\sin$ a $\cos$, funkce $\operatorname{dn}$ přejde v identickou jedničku.

Lze odvodit tuto sérii vztahů analogických vztahům pro goniometrické funkce:

$\operatorname{sn} (-u)=-\operatorname{sn}\, u \quad \operatorname{cn} (-u)=\operatorname{cn}\, u\quad \operatorname{dn} (-u)=\operatorname{dn}\, u$

$\operatorname{sn}^2 u + \operatorname{cn}^2 u =1 \quad \operatorname{dn}^2 u -k^2 \operatorname{cn}^2 u =1-k^2 \quad \operatorname{dn}^2 u +k^2 \operatorname{sn}^2 u =1$

$\frac{d}{du} \operatorname{sn}\, u = \operatorname{cn}\, u\, \operatorname{dn}\, u \quad \frac{d}{du} \operatorname{cn}\, u = -\operatorname{sn}\, u\, \operatorname{dn}\, u \quad \frac{d}{du} \operatorname{dn}\, u = -k^2\operatorname{sn}\, u\, \operatorname{cn}\, u$

Je tedy zřejmé, že funkci deltaamplituda je zavedena zejména pro snazší zápis derivací $\operatorname{sn}$ a $\operatorname{cn}$.

Reálné kyvadlo

Pokud se zajímáme o pohyb reálného kyvadla délky $l$, tedy když není použita aproximace malých vychýlení, je výsledný pohyb dán právě eliptickými funkcemi. V části o eliptickém integrálu byla odvozena perioda kmitu reálného kyvadla s maximální výchylkou $\psi_0$. Zajímáme-li se i o to, za jakou dobu se kyvadlo vychýlí z nuly do nějakého úhlu $\phi<\psi_0$, je tento čas dán jako integrál

$t=\sqrt{\frac{l}{g}} \int_0^{\arcsin \frac{\sin \frac{\phi}{2}}{\sin \frac{\psi_0}{2}}} \frac{d\psi}{\sqrt{1-\sin^2 \frac{\psi_0}{2}\sin^2 \psi}}$.

Provedeme-li v integrálu substituci za $\sin \psi$ a budeme-li výchylku kyvadla vyjadřovat pomocí souřadnice $\xi$, kde

$\xi =\frac{\sin \frac{\phi}{2}}{\sin \frac{\psi_0}{2}}$ ,

dostaneme vyjádření $t=\sqrt{\frac{l}{g}} \int_0^{\xi} \frac{dp}{\sqrt{1-p^2}\sqrt{1-k^2 p^2}}$,

kde bylo označeno $k=\sin \frac{\psi_0}{2}$.

Dle předchozí definice eliptických funkcí je pak pohyb kyvadla dán takto

$\xi (t) = \operatorname{sn}\, \omega t$,

kde $\omega$ je úhlová frekvence kyvadla při malých výchylkách, tedy

$\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}$.