Hertzův tlak

Schema Hertzova modelu styčného tlaku

Hertzův tlak (neboli styčný tlak ev. kontaktní pnutí) je tlak, který vzniká v místě vzájemného silového působení dvou těles s definovaným zakřivením povrchu. Svůj název nese po německém fyzikovi Heinrichu Hertzovi, který řešení této úlohy (formulované jako tzv. Hertzův model) publikoval v roce 1882.

Hertzův model

Hertzův model je založen na těchto předpokladech:

• Rozměr stykové plošky je podstatně menší než poloměry křivosti dotýkajících se těles
• Všechna vzniklá napětí jsou menší, než meze pružnosti těles
• Na stykové ploše je nulové tření i adheze

Výpočet

V obecném zadání figurují parametry dotýkajících se těles (těleso 1 a těleso 2):

• hlavní křivosti – menší $k_{a}$ a větší $k_{b}$ (kde $k={\frac {1}{r}}$), což jsou navzájem kolmé největší a nejmenší křivosti ve stykovém bodě.
  U těles vydutých (střed křivosti plochy leží mimo těleso) má křivost zápornou hodnotu $-k$.
• úhel natočení – $\phi$ úhel mezi rovinami křivosti $k_{1a}$ a $k_{2a}$
  Pokud je jedním z těles koule, pak je $k_{a}=k_{b}=k$ a $\phi =0$
• moduly pružnosti materiálů těles – $E_{1}$ a $E_{2}$
• Poissonova čísla materiálů těles – $\nu _{1}$ a $\nu _{2}$

Obecné řešení

Odvození velikosti tlaku ve styčné ploše vychází z deformačních podmínek tuhých těles, kdy se nejprve stanoví velikost a tvar stykové plochy, jimž je obecně elipsa. Průběh tlaku na stykové ploše je parabolický (pokud nepřekročí mez pružnosti jednoho z materiálů), což vychází z průběhu deformace radiusu povrchu. Maximální tlak vyvozený silou $F$ se nachází uprostřed dotykové elipsy a má velikost

$p_{\mathrm {max} }=1,5\cdot {\frac {F}{\pi ab}}$  , kde $a$ a $b$ jsou rozměry poloos dotykové elipsy:

$a=\alpha \cdot {\sqrt[{3}]{\frac {Fm}{n}}}$
$b=\beta \cdot {\sqrt[{3}]{\frac {Fm}{n}}}$

V těchto formulích je hodnota činitelů
$m={\frac {4}{k_{1a}+k_{1b}+k_{2a}+k_{2b}}}$
$n={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {E}{(1-\nu ^{2})}}$   pro $E_{1}=E_{2}=E$ a  $\nu _{1}=\nu _{2}=\nu$

Konstanty $\alpha$ a $\beta$ jsou definovány v tabulce podle úhlového parametru $\theta$, který se vypočte jako $\theta =\operatorname {arccos} \left({\frac {m}{4}}\cdot {\sqrt {(k_{1a}-k_{1b})^{2}+(k_{2a}-k_{2b})^{2}+2\cdot (k_{1a}-k_{1b})\cdot (k_{2a}-k_{2b})\cdot \cos {2\phi }}}\right)$

Konstanty pro výpočet poloos dotykové elipsy

$\theta$	20°	30°	35°	40°	45°	50°	55°	60°	65°	70°	75°	80°	85°	90°
$\alpha$	3,778	2,731	2,397	2,136	1,926	1,754	1,611	1,486	1,378	1,284	1,202	1,128	1,061	1,00
$\beta$	0,408	0,493	0,530	0,567	0,604	0,641	0,678	0,717	0,759	0,802	0,846	0,893	0,944	1,00

Případy se zcela obecným zadáním jsou v praxi velice ojedinělé a přibližuje se k nim například odvalování kuličky v rádiusové drážce valivého ložiska.

Typické případy

V typických případech figurují obvykle koule, válec a rovina.
Pro zjednodušení lze brát $\nu _{1}=\nu _{2}=0,3$

koule – koule

V tomto případě je styková plocha kruhová ($r_{1a}=r_{1b}={\frac {d_{1}}{2}}$ a $r_{2a}=r_{2b}={\frac {d_{2}}{2}}$) a její poloměr je $a=0,7\cdot {\sqrt[{3}]{F\cdot {\frac {{\frac {1}{E_{1}}}+{\frac {1}{E_{2}}}}{{\frac {1}{d_{1}}}+{\frac {1}{d_{2}}}}}}}$

Maximální tlak pak je:  $p_{\mathrm {max} }=1,5\cdot {\frac {F}{\pi a^{2}}}$
Přiblížení středů koulí je $\delta =0,97\cdot {\sqrt[{3}]{F^{2}\cdot \left({\frac {1}{E_{1}}}+{\frac {1}{E_{2}}}\right)^{2}\cdot \left({\frac {1}{d_{1}}}+{\frac {1}{d_{2}}}\right)}}$

---

koule – rovina

Rovina je v podstatě koule o nekonečném poloměru, tudíž ${\frac {1}{d_{2}}}=0$ a pak je poloměr stykové plochy $a=0,7\cdot {\sqrt[{3}]{F\cdot {\frac {{\frac {1}{E_{1}}}+{\frac {1}{E_{2}}}}{\frac {1}{d_{1}}}}}}$

Maximální tlak pak je:  $p_{\mathrm {max} }=1,5\cdot {\frac {F}{\pi a^{2}}}$

V případě shodných materiálů koule i podložky ($E_{1}=E_{2}=E$) dostaneme vztahy:

$a=0,88\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {Fd}{E}}}$ ;   $p_{\mathrm {max} }=0,62\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {FE^{2}}{d^{2}}}}$ ;  $\delta =1,54\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {F^{2}}{E^{2}d}}}$

Pro kalenou ocelovou kouli na kalené ocelové rovině lze použít pro určení dovolené zátěže při maximálním dovoleném tlaku $p_{\mathrm {max} }=3700MPa$
přibližný vzoreček: $F_{dov}=500\cdot d^{2}$   pro F v [N] a d v [cm].

---

rovnoběžné válce

Styková plocha má tvar obdélníka o šířce b, takže

$b=1,52\cdot {\sqrt {q\cdot {\frac {{\frac {1}{E_{1}}}+{\frac {1}{E_{2}}}}{{\frac {1}{d_{1}}}+{\frac {1}{d_{2}}}}}}}$ , kde $q={\frac {F}{l}}$ je zatížení vztažené na jednotku délky

Maximální tlak pak je:  $p_{\mathrm {max} }={\frac {4q}{\pi b}}$

---

válec – rovina

V tomto případě platí $b=1,52\cdot {\sqrt {q\cdot {\frac {{\frac {1}{E_{1}}}+{\frac {1}{E_{2}}}}{\frac {1}{d_{1}}}}}}$

Maximální tlak pak je:  $p_{\mathrm {max} }={\frac {4q}{\pi b}}$

V případě shodných materiálů válce i podložky ($E_{1}=E_{2}=E$) dostaneme vztahy:

$b=2,15\cdot {\sqrt {\frac {qd}{E}}}$ ;   $p_{\mathrm {max} }=0,591\cdot {\sqrt {\frac {qE}{d}}}$ ;  $\delta =0,58\cdot {\frac {q}{E}}\cdot \left({\frac {1}{3}}+\ln {\frac {2d}{b}}\right)$

Při předběžném návrhu mostních ložisek lze použít zjednodušený vzoreček $q=500\cdot d$   pro q v [N/cm] a d v [cm].

Odlišné vzorce

V literatuře se vyskytují i poněkud odlišné vzorce. Je to jednak použitím jiné úpravy konstant a jednak použitím
tzv. redukovaného modulu pružnosti ${\frac {1}{E_{red}}}={\frac {1-{\nu }_{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-{\nu }_{2}^{2}}{E_{2}}}$
a tzv. ekvivalentního rádiusu ${\frac {1}{r_{e}}}={\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}}$

Jiné modely kontaktního pnutí

Zohledňují vliv adheze:

• Bradleyův model
• Model pružného kontaktu Johnson-Kendall-Roberts (JKR)
• Model pružného kontaktu Derjaguin-Muller-Toporov (DMT)
• Taborův parametr – spojuje modely JKR a DMT
• Model pružného kontaktu Maugis-Dugdale
• Model Carpick-Ogletree-Salmeron (COS)

– dle odstavce „Adhesive contact between elastic bodies“ v článku „Contact mechanics“ na anglické Wikipedii