Eulerova metoda

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Eulerova metoda je nejjednodušší metodou numerického řešení obyčejných diferenciálních rovnic s danými počátečními podmínkami. Publikoval ji Leonhard Euler v roce 1768. V oblasti numerické integrace lze nalézt určitou podobnost s obdélnikovou metodou.

Odvození[editovat | editovat zdroj]

Eulerova metoda vychází z rovnic pro změnu polohy x(t) a rychlosti v(t) určitého objektu. Proměnná a(t) značí zrychlení.

a(t) = \frac{dv(t)}{dt}

a

v(t) = \frac{dx(t)}{dt}

tedy

v(t_0 + h) = v(t_0) + h a(t_0)\,

a

x(t_0 + h) = x(t_0) + h v(t_0)\,

Odchylka (chyba metody)[editovat | editovat zdroj]

Odchylku Eulerovy metody lze nejlépe znázornit porovnáním s Taylorovým rozvojem trajektorie daného objektu. Pokud přesně známe x(t), v(t) a a(t) v čase t0, pak v čase t0 + h dává Eulerova metoda hodnotu

x(t_0 + h) = x(t_0) + h v(t_0). \,

Hodnota Taylorova rozvoje je

x(t_0 + h) = x(t_0) + h v(t_0) + \frac{1}{2}h^2 a(t_0) + O(h^3).

Odchylka (také lokální diskretizační chyba nebo chyba jednoho kroku) Eulerovy metody je tedy dána rozdílem mezi těmito dvěma rovnicemi:

-\frac{1}{2}h^2 a(t_0) + O(h^3).