Eliptické funkce

Eliptické funkce jsou v matematické oblasti komplexní analýzy speciálním druhem meromorfních funkcí, které splňují dvě podmínky periodicity. Nazývají se eliptické funkce, protože pocházejí z eliptických integrálů. Původně se tyto integrály vyskytovaly při výpočtu délky oblouku elipsy. Důležitými eliptickými funkcemi jsou Abelovy a Jacobiho eliptické funkce a Weierstrassova funkce. Další rozvoj této teorie vedl k hypereliptickým funkcím a modulárním formám.

Definice

Eliptická funkce je taková meromorfní funkce $f$, pro kterou existují dvě komplexní čísla $\omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C}$, lineárně nezávislá nad množinou reálných čísel, tak, že:

$f(z+\omega _{1})=f(z)$ a $f(z+\omega _{2})=f(z)\quad \forall z\in \mathbb {C}$.

Eliptické funkce mají tedy dvě periody, a proto se také nazývají „dvojperiodické“.

Abelovy a Jacobiho funkce

Adrien-Marie Legendre studoval eliptické integrály, a jeho práci poté rozvinuli Niels Henrik Abel a Carl Gustav Jacobi.

Abel uvažoval integrální lichou funkci rostoucí na intervalu $\langle {-{\tfrac {1}{c}}},{\tfrac {1}{c}}\rangle$:

$\alpha (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}$,

jejíž inverzí $x=\varphi (\alpha )$ získal funkce:

$f(\alpha )={\sqrt {1-c^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}\ \ \ \ \$$F(\alpha )={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}$,

kde $c,e\in \mathbb {R^{+}}$.

Jacobi uvažoval integrální funkci:

$\beta (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}$,

jejíž inverzí $x=\operatorname {sn} (\beta )$ získal funkce eliptický sinus (sn), eliptický cosinus (cn) a delta amplitudu (dn):

$\operatorname {cn} (\beta )={\sqrt {1-x^{2}}}\ \ \ \ \$$\operatorname {dn} (\beta )={\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}$,

kde $0<k<1$.

Literatura

• ČUŘÍK, František. Matematika. Praha: Česká matice technická, 1944. Dostupné online. Kapitola Eliptické funkce Legendreovy (Jakobiho), s. 108. 

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu eliptická funkce na Wikimedia Commons

Autoritní data	NKC: ph156664 BNF: cb13319234b (data) GND: 4134665-8 LCCN: sh85052336 NDL: 00561186 NLI: 987007553158505171