Wikipedista:Irigi/Místo na uložení článku 3

Souvislost spojité Fourierovy transformace a Fourierových řad

Pro Fourierovu transformaci Diracovy delta funkce platí

${\mathcal {F}}[\delta (t)]={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-a)e^{-i\omega t}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$

a inverzně

${\mathcal {F}}^{-1}\left[{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\right]=\delta (t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{i\omega t}\,\mathrm {d} \omega ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{i\omega t}\,\mathrm {d} \omega$

Zavedeme-li sumu delta-funkcí přes všechna celá čísla tak, že

$\Sigma (t)\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-k),$

potom

${\mathcal {F}}[\Sigma (t)]=\Sigma (\omega ),$

neboť

${\mathcal {F}}[\Sigma (t)]={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-k)e^{-i\omega t}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{-i\omega k},$

což je ovšem to samé, jako

${\mathcal {F}}\left[{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{-itk}\right]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{-it(k+\omega )}\,\mathrm {d} t=\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{-i\omega k},$