Wikipedista:Vlavla/Vibroizolační uložení tělesa v rovině

Formulace problému

Sestavte matematický model tělesa v rovině (se třemi stupni volnosti) uloženého pomocí osmi pružin a tlumičů v prostředí Matlab. Zvolte libovolnou metodu (Newton, Lagrange). Zjednodušené schéma soustavy (značky pružin představují současně tuhosti i tlumení) vypadá takto (a a b jsou rozměry uloženého tělesa, m je jeho hmotnost a I moment setrvačnosti k ose z, která prochází těžištěm):

Postup řešení

Předpokládáme-li malé výchylky a malá natočení, platí princip superpozice, což nám umožňuje rozdělit problém při uvolňování na tři jednodušší případy:

• výchylka ve směru osy x
• výchylka ve směru osy y
• natočení kolem osy z

Sestavení pohybových rovnic

Každý z těchto tří elementárních případů tedy samostatně uvolníme a na závěr získáme tyto tři pohybové rovnice pro řešenou dynamickou soustavu:

$m{\ddot {x}}=\sum Fx=-k_{1}x-k_{2}x-k_{3}x-k_{4}x-k_{1}\phi {\frac {b}{2}}-k_{3}\phi {\frac {b}{2}}+k_{2}\phi {\frac {b}{2}}+k_{4}\phi {\frac {b}{2}}-b_{1}{\dot {x}}-b_{2}{\dot {x}}-b_{3}{\dot {x}}-b_{4}{\dot {x}}-b_{1}{\dot {\phi }}{\frac {b}{2}}-b_{3}{\dot {\phi }}{\frac {b}{2}}+b_{2}{\dot {\phi }}{\frac {b}{2}}+b_{4}{\dot {\phi }}{\frac {b}{2}}$

$m{\ddot {y}}=\sum Fy=-k_{5}y-k_{6}y-k_{7}y-k_{8}y-k_{1}\phi {\frac {b}{2}}-k_{3}\phi {\frac {b}{2}}+k_{2}\phi {\frac {b}{2}}+k_{4}\phi {\frac {b}{2}}-b_{5}{\dot {y}}-b_{6}{\dot {y}}-b_{7}{\dot {y}}-b_{8}{\dot {y}}-b_{1}{\dot {\phi }}{\frac {b}{2}}-b_{3}{\dot {\phi }}{\frac {b}{2}}+b_{2}{\dot {\phi }}{\frac {b}{2}}+b_{4}{\dot {\phi }}{\frac {b}{2}}$

$I{\ddot {\phi }}=\sum Mz=-k_{1}x{\frac {b}{2}}-k_{3}x{\frac {b}{2}}+k_{2}x{\frac {b}{2}}+k_{4}x{\frac {b}{2}}-k_{6}y{\frac {a}{2}}-k_{8}y{\frac {a}{2}}+k_{5}y{\frac {a}{2}}+k_{7}y{\frac {a}{2}}-k_{1}\phi {\frac {b^{2}}{4}}-k_{2}\phi {\frac {b^{2}}{4}}-k_{3}\phi {\frac {b^{2}}{4}}-k_{4}\phi {\frac {b^{2}}{4}}-k_{5}\phi {\frac {a^{2}}{4}}-k_{6}\phi {\frac {a^{2}}{4}}-k_{7}\phi {\frac {a^{2}}{4}}-k_{8}\phi {\frac {a^{2}}{4}}-b_{1}{\dot {x}}{\frac {b}{2}}-b_{3}{\dot {x}}{\frac {b}{2}}+b_{2}{\dot {x}}{\frac {b}{2}}+b_{4}{\dot {x}}{\frac {b}{2}}-b_{6}{\dot {y}}{\frac {a}{2}}-b_{8}{\dot {y}}{\frac {a}{2}}+b_{5}{\dot {y}}{\frac {a}{2}}+b_{7}{\dot {y}}{\frac {a}{2}}-b_{1}{\dot {\phi }}{\frac {b^{2}}{4}}-b_{2}{\dot {\phi }}{\frac {b^{2}}{4}}-b_{3}{\dot {\phi }}{\frac {b^{2}}{4}}-b_{4}{\dot {\phi }}{\frac {b^{2}}{4}}-b_{5}{\dot {\phi }}{\frac {a^{2}}{4}}-b_{6}{\dot {\phi }}{\frac {a^{2}}{4}}-b_{7}{\dot {\phi }}{\frac {a^{2}}{4}}-b_{8}{\dot {\phi }}{\frac {a^{2}}{4}}$

Transformace diferenciálních rovnic

Každou z těchto diferenciálních rovnic 2.řádu je nutné převést na dvě diferenciální rovnice 1.řádu, abychom mohli použít jeden z řešičů ODE v Matlabu:

• $y_{1}=x\,\!$
  
• ${\dot {y}}_{1}={\dot {x}}$
  
• $y_{2}={\dot {x}}$
  
• ${\dot {y}}_{2}={\ddot {x}}$
  
• $y_{3}=y\,\!$
  
• ${\dot {y}}_{3}={\dot {y}}$
  
• $y_{4}={\dot {y}}$
  
• ${\dot {y}}_{4}={\ddot {y}}$
  
• $y_{5}=\phi \,\!$
  
• ${\dot {y}}_{5}={\dot {\phi }}$
  
• $y_{6}={\dot {\phi }}$
  
• ${\dot {y}}_{6}={\ddot {\phi }}$
  

Touto úpravou vznikne 6 rovnic, které zapíšeme takto:

function out=my_ode(t,y,options,k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7,k8,
                    b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8,m,a,b)
dy(1,1)=y(2,1);
dy(3,1)=y(4,1);
dy(5,1)=y(6,1);
dy(2,1)=1/m*(-k1*y(1,1)-k2*y(1,1)-k3*y(1,1)-k4*y(1,1)
             -k1*y(5,1)*b/2-k3*y(5,1)*b/2+k2*y(5,1)*b/2+k4*y(5,1)*b/2
             -b1*y(2,1)-b2*y(2,1)-b3*y(2,1)-b4*y(2,1)
             -b1*y(6,1)*b/2-b3*y(6,1)*b/2+b2*y(6,1)*b/2+b4*y(6,1)*b/2);
dy(4,1)=1/m*(-k5*y(3,1)-k6*y(3,1)-k7*y(3,1)-k8*y(3,1)
             -k6*y(5,1)*a/2-k8*y(5,1)*a/2+k5*y(5,1)*a/2+k7*y(5,1)*a/2
             -b5*y(4,1)-b6*y(4,1)-b7*y(4,1)-b8*y(4,1)
             -b6*y(6,1)*a/2-b8*y(6,1)*a/2+b5*y(6,1)*a/2+b7*y(6,1)*a/2);
dy(6,1)=1/(m*(a*a+b*b)/12)*(-k1*y(1,1)*b/2-k3*y(1,1)*b/2+k2*y(1,1)*b/2+k4*y(1,1)*b/2
                            -k6*y(3,1)*a/2-k8*y(3,1)*a/2+k5*y(3,1)*a/2+k7*y(3,1)*a/2
                            -k1*y(5,1)*b*b/4-k2*y(5,1)*b*b/4-k3*y(5,1)*b*b/4-k4*y(5,1)*b*b/4
                            -k5*y(5,1)*a*a/4-k6*y(5,1)*a*a/4-k7*y(5,1)*a*a/4-k8*y(5,1)*a*a/4
                            -b1*y(2,1)*b/2-b3*y(2,1)*b/2+b2*y(2,1)*b/2+b4*y(2,1)*b/2
                            -b6*y(4,1)*a/2-b8*y(4,1)*a/2+b5*y(4,1)*a/2+b7*y(4,1)*a/2
                            -b1*y(6,1)*b*b/4-b2*y(6,1)*b*b/4-b3*y(6,1)*b*b/4-b4*y(6,1)*b*b/4
                            -b5*y(6,1)*a*a/4-b6*y(6,1)*a*a/4-b7*y(6,1)*a*a/4-b8*y(6,1)*a*a/4);
out=dy;

Triviální řešení

Pro zadané triviální počáteční podmínky ($x_{0}=1$, $y_{0}=0.5$, $\phi _{0}=0.1$) a pro nulové tlumení si ověříme, zda se soustava chová správně:

clc;
clear;
%casovy interval
tint=[0,20];
%tint=[0,1/(sqrt(12)/(2*pi))];
%pocatecni podminky vektoru y=[x;dx;y;dy;fi;dfi]
y0=[1;0;0.5;0;0.1;0];
%zadani tuhosti
k1=10;
k2=10;
k3=10;
k4=10;
k5=10;
k6=10;
k7=10;
k8=10;
%zadani tlumeni
b1=0;
b2=0;
b3=0;
b4=0;
b5=0;
b6=0;
b7=0;
b8=0;
%zadani hmotnosti
m=10;
%zadani rozmeru telesa
a=1;
b=1;
options=;
[T,Y]=ode45('my_ode',tint,y0,options,k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7,k8,b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8,m,a,b);
plot(T,Y(:,1),'b-*',T,Y(:,3),'r-+',T,Y(:,5),'g-x');
xlabel('t [s]');
ylabel('x [m], y [m], fi [rad]');
%plot(T,Y(:,2),'b-*',T,Y(:,4),'r-+',T,Y(:,6),'g-x');
%xlabel('t [s]');
%ylabel('vx [ms-1], vy [ms-1], vfi [rads-1]');
%plot(T,Y(:,5));

Odezva s uvažováním tlumení

Pro případ, kdy budeme uvažovat tlumení, bude výsledná odezva soustavy na počáteční podmínky vypadat takto:

Vlastní frekvence

Jednou z důležitých charakteristik soustavy jsou vlastní čísla, což jsou druhé mocniny jejích vlastních frekvencí. Omezme se v tomto případě na soustavu bez tlumení. Pro tento případ máme tedy dvě možnosti jejich zjištění:

1. Přímým řešením tzv. vlastního problému $\mathbf {K} -\Omega ^{2}\mathbf {M} =0$

Pro řešení takovéto rovnice existuje v Matlabu přímo funkce "eig".

M = [m,0,0;0,m,0;0,0,m*(a*a+b*b)/12];
K = [k1+k2+k3+k4,0,k1*b/2+k3*b/2-k2*b/2-k4*b/2;
    0,k5+k6+k7+k8,k6*a/2+k8*a/2-k5*a/2-k7*a/2;
    k1*b/2+k3*b/2-k2*b/2-k4*b/2,
    k6*a/2+k8*a/2-k5*a/2-k7*a/2,
    k1*b*b/4+k2*b*b/4+k3*b*b/4+k4*b*b/4+k5*a*a/4+k6*a*a/4+k7*a*a/4+k8*a*a/4];
A = K*inv(M);
[V,D] = eig(A)

Výstupem jsou

• matice vlastních čísel $\mathbf {D}$
  
• matice vlastních tvarů $\mathbf {V}$
  

$D={\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&12\end{pmatrix}}$
$V={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

2. Odečtením z amplitudové charakteristiky

V tomto případě je nutné do soustavy zavést buzení (působiště budících sil uvažujeme v těžišti tělesa), které je harmonickou funkcí frekvence $\omega$.

function out=my_ode_omega(t,y,options,k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7,k8,b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8,m,a,b,Fx,Fy,Mz,omega)
dy(1,1)=y(2,1);
dy(3,1)=y(4,1);
dy(5,1)=y(6,1);
dy(2,1)=1/m*(-k1*y(1,1)-k2*y(1,1)-k3*y(1,1)-k4*y(1,1)
             -k1*y(5,1)*b/2-k3*y(5,1)*b/2+k2*y(5,1)*b/2+k4*y(5,1)*b/2
             -b1*y(2,1)-b2*y(2,1)-b3*y(2,1)-b4*y(2,1)
             -b1*y(6,1)*b/2-b3*y(6,1)*b/2+b2*y(6,1)*b/2+b4*y(6,1)*b/2
             +Fx*cos(omega*t));
dy(4,1)=1/m*(-k5*y(3,1)-k6*y(3,1)-k7*y(3,1)-k8*y(3,1)
             -k6*y(5,1)*a/2-k8*y(5,1)*a/2+k5*y(5,1)*a/2+k7*y(5,1)*a/2
             -b5*y(4,1)-b6*y(4,1)-b7*y(4,1)-b8*y(4,1)
             -b6*y(6,1)*a/2-b8*y(6,1)*a/2+b5*y(6,1)*a/2+b7*y(6,1)*a/2
             +Fy*cos(omega*t));
dy(6,1)=1/(m*(a*a+b*b)/12)*(-k1*y(1,1)*b/2-k3*y(1,1)*b/2+k2*y(1,1)*b/2+k4*y(1,1)*b/2
                            -k6*y(3,1)*a/2-k8*y(3,1)*a/2+k5*y(3,1)*a/2+k7*y(3,1)*a/2
                            -k1*y(5,1)*b*b/4-k2*y(5,1)*b*b/4-k3*y(5,1)*b*b/4-k4*y(5,1)*b*b/4
                            -k5*y(5,1)*a*a/4-k6*y(5,1)*a*a/4-k7*y(5,1)*a*a/4-k8*y(5,1)*a*a/4
                            -b1*y(2,1)*b/2-b3*y(2,1)*b/2+b2*y(2,1)*b/2+b4*y(2,1)*b/2
                            -b6*y(4,1)*a/2-b8*y(4,1)*a/2+b5*y(4,1)*a/2+b7*y(4,1)*a/2
                            -b1*y(6,1)*b*b/4-b2*y(6,1)*b*b/4-b3*y(6,1)*b*b/4-b4*y(6,1)*b*b/4
                            -b5*y(6,1)*a*a/4-b6*y(6,1)*a*a/4-b7*y(6,1)*a*a/4-b8*y(6,1)*a*a/4
                            +Mz*cos(omega*t));
out=dy;

Frekvenci $\omega$ průběžně měníme a současně odečítáme amplitudu kmitů po odeznění přechodového děje, čímž vznikne amplitudová charakteristika soustavy, přičemž vlastní frekvence pro výchylky v ose x a v ose y pro symetricky zadanou úlohu jsou stejné a vlastní frekvence torzních kmitů kolem osy z je odlišná:

Závěr

Řešení zadaného problému proběhlo úspěšně. Výsledky modelu odpovídaly našim zkušenostem a předpokladům o chování soustavy.
Vlastní čísla netlumené soustavy jsme řešili dvěma různými způsoby, které vedly ke stejným hodnotám.
Z matice vlastních tvarů soustavy je vidět, že pro zvolenou symetrickou úlohu jsou jednotlivé vlastní tvary na sobě nezávislé, a tedy i pro jednotlivé druhy pohybu (výchylka ve směru osy x, výchylka ve směru osy y, natočení kolem osy z) má soustava 3 resp. 2 na sobě nezávislé vlastní frekvence.