Wikipedista:Filip Albert/Pískoviště

Lineárním prostorem nazýváme každou neprázdnou množinu L, na které je definováno sčítání +: L × L → L a násobení reálným číslem ·: R × L → L a tyto operace splňují pro každé x ∈ L, y ∈ L, z ∈ L, α ∈ R, β ∈ R vlastnosti:

(1)    x + y = y + x

(2)    (x + y) + z = x + (y + z)

(3)    α · (β · x) = (α β) · x

(4)    α · (x + y) = α · x + α · y

(5)    (α + β)· x = α · x + β · x

(6)    1 · x = x

(7)    existuje o ∈ L, že pro každé x ∈ L je 0 · x = o

Prvky lineárního prostoru nazýváme vektory. Reálnému číslu v kontextu násobení ·: R × L → L říkáme skalár. Prvku o ∈ L z vlastnosti (7) říkáme nulový prvek nebo nulový vektor.

---

Nechť L je lineární prostor s operacemi "+" a "·". Neprázdnou množinu M ⊆ L nazýváme lineárním podprostorem prostoru L, pokud pro všechna x ∈ M, y ∈ M a α ∈ R platí:

(1)    x + y ∈ M

(2)    α · x ∈ M

---

Množinu G, na které je definována operace $\circ$: G × G → G nazýváme grupou, pokud pro tuto operaci platí:

(1)    ∀x, y, z ∈ G: (x $\circ$ y) $\circ$ z = x $\circ$ (y $\circ$ z)

(2)    ∃e ∈ G, pro které platí ∀x ∈ G: e $\circ$ x = x $\circ$ e = x        (existence neutrálního prvku/jednotkového prvku)

(3)    ∀x ∈ G ∃y ∈ G: x $\circ$ y = y $\circ$ x = e        (existence opačného/inverzního prvku y pro každý prvek x)

Pokud navíc platí:

(4)    ∀x, y ∈ G: x $\circ$ y = y $\circ$ x        (komutativní zákon),

pak grupu G nazýváme komutativní grupou. Z historických důvodů a z úcty k norskému matematikovi, který rozpracoval teorii grup a bohužel zemřel mlád na zákeřnou nemoc ve věku 26 let, se komutativní grupa nazývá též Abelova grupa.

---

Nechť G je grupa s operací $\circ$. Pokud G₁ ⊂ G je sama o sobě grupou se stejnou operací, nazýváme G₁ podgrupou grupy G.

---

Těleso je množina T se dvěma operacemi obvykle označovanými +: T × T → T a ·: T × T → T, které mají následující vlastnosti:

(1)    T s operací "+" je komutativní grupa. Neutrální prvek této grupy je označen symbolem 0.

(2)    T\{0} s operací "·" je komutativní grupa. Jednotkový prvek této grupy se značí symbolem 1

(3)    Operace "+" a "·" splňují distributivní zákon: a · (b + c) = a · b + a · c

---

Množinu L nazýváme lineárním prostorem nad tělesem T, pokud jsou definovány operace +: L × L → L a ·: T × L → L tak, že L tvoří s operací + komutativní grupu, a dále ∀α, β ∈ T, ∀x, y ∈ L:

(1)    α · (β · x) = (α · β) · x

(2)    α · (x + y) = α · x + α · y

(3)    (α + β) · x = α · x + β · x

(4)    1 · x = x

---

Nechť x₁, x₂, ..., x_n, jsou vektory (tj. prvky nějakého lineárního prostoru). Lineární kombinací vektorů x₁, x₂, ..., x_n rozumíme vektor:

α₁ · x₁ + α₂ · x₂ + ... + α_n · x_n,

kde α₁, α₂, ..., α_n jsou nějaká reálná čísla. Těmto číslům říkáme koeficienty lineární kombinace.

---

Triviální lineární kombinace vektorů x₁, x₂, ..., x_n je taková lineární kombinace, která má všechny koeficienty nulové. Netriviální lineární kombinace je taková lineární kombinace, která není triviální, tj. alespoň jeden koeficient je nenulový.

---

Skupinu vektorů x₁, x₂, ..., x_n nazýváme lineárně závislou, pokud existuje netriviální lineární kombinace vektorů x₁, x₂, ..., x_n, která je rovna nulovému vektoru. Stručně říkáme, že vektory x₁, x₂, ..., x_n jsou lineárně závislé.

---

Skupinu vektovů x₁, x₂, ..., x_n nazýváme lineárně nezávislou, pokud není lineárně závislá. Stručně říkáme, že vektory x₁, x₂, ..., x_n jsou lineárně nezávislé.

---

Nechť L je lineární prostor. Neprázdná konečná množina vektorů K ⊆ L, K = {x₁, x₂, ..., x_n} se nazývá lineárně závislá, pokud jsou vektory x₁, x₂, ..., x_n lineárně závislé.

Nekonečná množina vektorů M ⊆ L se nazývá lineárně závislá, pokud existuje konečná K ⊆ M, která je lineárně nezávislá.

M ⊆ L se nazývá lineárně nezávislá, pokud není lineárně závislá.

Prázdnou množinu považujeme vždy za lineárně nezávislou.

---

Nechť L je lineární prostor. Lineární obal skupiny vektorů x₁, x₂, ..., x_n je množina všech lineárních kombinací vektorů x₁, x₂, ..., x_n.

Lineární obal konečné množiny K ⊆ L, K = {x₁, x₂, ..., x_n } ztotožňujeme s lineárním obalem skupiny vektorů x₁, x₂, ..., x_n.

Lineární obal nekonečné množiny M ⊆ L je sjednocení lineárních obalů všech konečných podmnožin množiny M.

Lineární obal skupiny vektorů x₁, x₂, ..., x_n značíme <x₁, x₂, ..., x_n>. Lineární obal množiny M značíme symbolem <M>.

---

Báze lineárního prostoru L je taková podmnožina B ⊆ L, pro kterou platí:

(1)    B je lineárně nezávislá

(2)    <B> = L

---

${\begin{vmatrix}x&y&y\\x&z&x\\y&y&x\end{vmatrix}}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}{\begin{vmatrix}x&y&y\\x&z&x\\y&y&x\end{vmatrix}}^{T}{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}{\begin{vmatrix}x&x&y\\y&z&y\\y&x&x\end{vmatrix}}{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}-{\begin{vmatrix}y&x&x\\y&z&y\\x&x&y\end{vmatrix}}$

${\begin{vmatrix}x&y&y\\x&z&x\\y&y&x\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}y&x&x\\y&z&y\\x&x&y\end{vmatrix}}$

${\bar {\vartheta }}({\bar {V}})={\sqrt {\pi ^{2}{\bar {r}}^{4}{\bar {\vartheta }}^{2}({\bar {h}})+4\pi ^{2}{\bar {r}}^{2}{\bar {h}}^{2}{\bar {\vartheta }}^{2}({\bar {r}})}}$

${\bar {\vartheta }}({\bar {V}})={\sqrt {({\bar {b}}{\bar {c}})^{2}{\bar {\vartheta }}^{2}({\bar {a}})+({\bar {a}}{\bar {c}})^{2}{\bar {\vartheta }}^{2}({\bar {b}})+({\bar {a}}{\bar {b}})^{2}{\bar {\vartheta }}^{2}({\bar {c}})}}$

$u_{a}=k{\bar {s}}$

$u_{b}={\frac {\Delta _{MAX}}{\sqrt {3}}}$

$u_{c}={\sqrt {u_{a}^{2}+u_{b}^{2}}}$

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$

$\left(\Delta -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\psi =0$

$\psi =\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$

$\left(-k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\psi =0$

$\ \omega =kc$

$\left(\Delta +k^{2}\right)\psi =0$

$\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k}$

$\left(\Delta +{\frac {\mathbf {p} ^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\psi =0$

$E={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} ^{2}={\frac {1}{2}}\mathbf {p} \mathbf {v} ={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}=>\mathbf {p} ^{2}=2mE$

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi =E\psi$