Klotoida

Klotoida při $A=1/{\sqrt {2}}$

Klotoida (z řec. klóthó, předu), také Cornuova nebo Eulerova spirála, je rovinná křivka, jejíž křivost se spojitě mění s proběhnutou dráhou. Při počátku v bodě [0,0] bude v tomto bodě přímá a doprava i doleva její zakřivení plynule roste, ovšem s opačným znaménkem. Používá se v dopravním stavitelství jako přechodnice (u pozemních komunikací), křivka spojující dva úseky trasy s odlišnou křivostí, nejčastěji na nájezdu do oblouku a na výjezdu z něho.

Matematické vyjádření

Klotoidu lze vyjádřit rovnicí:

$R={\frac {A^{2}}{L}},\quad L>0,$

kde $R$ je poloměr křivosti, $L$ délku oblouku od zvoleného počátku do daného bodu a $A$ libovolnou kladnou konstantu.

Historie

Rovnici klotoidy poprvé napsal Jacob Bernoulli v roce 1694, ale křivku nenakreslil ani numericky nevypočítal. To udělal až roku 1734 Leonhard Euler, který na ni přišel při zkoumání spirálových pružin. 1874 ji nezávisle objevil francouzský fyzik Alfred Cornu [korny] při zkoumání a výpočtech ohybů. Od roku 1937 se používá jako přechodnice, v ČR nyní i na železnici, kde se dříve používala jednodušší kubická parabola.

Literatura

• Gary Dougill, Eugene L. Starostin, Alyx O. Milne, Gert H. M. van der Heijden, Victor G. A. Goss & Robyn A. Grant (2020). Ecomorphology reveals Euler spiral of mammalian whiskers. doi: https://doi.org/10.1002/jmor.21246 (studie dokládající, že Eulerova spirála je přítomna například v mnoha savčích hmatových vouscích)

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Klotoida na Wikimedia Commons
• Oblouk s převýšením a přechodnicemi, ČVUT^{[nedostupný zdroj]}