Diskuse:Ultrafiltr

Mohl by někdo, prosím, do toho článku napsat, co to vlastně je ultrafiltr, jak to vypadá a k čemu to je dobré? Díky. --egg ✉ 13:02, 13. 10. 2006 (UTC)

Zdar a sílu.

Ono to není moc jednoduché, napsat v jednom článku o čem to vlastně je - jedná se o dost specializovaný pojem z teorie množin, ten článek by byl dlouhý a opakoval by obsah jiných článků. K představě je potřeba dojít krok za krokem z odkazovaných článků - představa horní množiny a dolů usměrněné množiny není podle mě nijak složitá - dohromady to dává filtr. Ultrafiltr je jeho speciální případ, který v jistém smyslu seká "přesně napůl" potenční množinu - pro každou podmnožinu obsahuje jí samotnou, nebo její doplněk do podkladové množiny.

Chrupoš 15:08, 13. 10. 2006 (UTC)

Díky, tomu už trochu rozumím. Ještě bych se jako tupý čtenář zeptal, na co se to používá. ;-) --egg ✉ 16:01, 13. 10. 2006 (UTC)

Já to zkusím popsat na filtrech obecně - filtr v podstatě rozděluje potenční množinu na podmnožiny, které jsou velké (patří do něj), které jsou malé (patří do duálního ideálu) a které jsou někde mezi (nepatří tam ani tam). Pro každý filtr na dané množině je toto rozdělení trochu jiné.

Takhle si utřídit podmnožiny je důležité například když se chci ptát, co je to limita posloupnosti - dá se říct, že nějaké číslo je limita, pokud v každém jeho okolí leží hodně prvků z indexové množiny posloupnosti - tj. že taková podmnožina indexové množiny leží ve filtru.

V analýze se běžně používá pro reálné posloupnosti limita podle Fréchetova filtru - pouze konečně mnoho prvků posloupnosti může ležet mimo okolí limity.

Pokud zobecním pojem limity na "limitu podle filtru", můžu dostat úplně jiné výsledky:

• Posloupnost 1,1/2,1/4,1/8,... má podle Fréchetova filtru sice limitu 0
• Ale například podle triviálního ultrafiltru daného množinou {1} má stejná posloupnost limitu 1/2 :o)

Nakonec ještě proč ultrafiltr, když už filtr - ultrafiltr je mezi filtry maximální - jak bych k němu něco přidal, tak už by přestal být filtrem. Je tak velký, že pro něj není žádné někde mezi - všechny podmnožiny dané množiny se dělí na velké a malé.

Uff. Chrupoš 09:54, 14. 10. 2006 (UTC)

Ono co se týká využití, tak je to s pokročilejším temnem obecně asi trochu podobné, jako se všemi oblastmi základního výzkumu - většinou to vypadá jako hračičkování, než se pak najednou najde něco, co má dopad všude možně (ať už v tomhle případě do analýzy, topologie, nebo třeba do filosofie matematiky). Chrupoš 10:03, 14. 10. 2006 (UTC)

Tohle vysvětlení je bezva, děkuju za něj. Něco si z analýzy pamatuju, takže teď jsem získal představu. Ještě by to chtělo takhle víc "pro lidi" napsat do článku. Přecijen tohle je obecná encyklopedie, ne specializovaná. Čili pokročilé texty tu mohou být, ale lepší je doprovodit je více laický výkladem. O to mi od začátku šlo. Děkuju moc. --egg ✉ 10:48, 14. 10. 2006 (UTC)