Aritmeticko-geometrický průměr

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Aritmeticko-geometrický průměr je speciální průměr dvou nezáporných čísel, označovaný tradičně M(x,y) nebo AGM(x,y). Lze jej vyjádřit jen pomocí vyšších transcendentních funkcí.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Definice aritmeticko-geometrického průměru užívá obvykle vyšší transcendentní funkce, limitu posloupnosti nebo určitý integrál, např.

,

kde K je úplný eliptický integrál 1. druhu.

Zavedení pomocí posloupností[editovat | editovat zdroj]

A.-g. průměr lze snadno definovat (a výhodně počítat) jako (společnou) limitu následujících posloupností, definovaných rekurentními rovnicemi 1. řádu

.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Hodnota a.- g. průměru leží vždy mezi hodnotou aritmetického a geometrického průměru. Platí také

,

což nejlépe vyplývá z definice pomocí posloupností.

Použití[editovat | editovat zdroj]

Používá se k vyčíslení hodnot jiných transcendentních funkcí jako jsou eliptické integrály i např. k rychlému výpočtu číslic čísla π.

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]