Obyčejné diferenciální rovnice jsou rovnice, které obsahují neznámou funkci jedné proměnné a derivace této funkce.
Obyčejnou diferenciální rovnici
-tého řádu zapisujeme v obecném tvaru jako
,
kde
je hledaná funkce.
Pokud jsme schopni vyjádřit uvedenou ve tvaru
,
pak říkáme, že rovnice je rozřešena vzhledem k nejvyšší derivaci.
Obecné vyjádření obyčejné diferenciální rovnice zahrnuje lineární i nelineární diferenciální rovnice. Lineární diferenciální rovnice
-tého řádu je možné vyjádřit ve tvaru
![{\displaystyle y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+a_{n-2}(x)y^{(n-2)}+...+a_{1}(x)y^{\prime }+a_{0}(x)y=b(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4410d4d8dd81a282a9ec522cf1bf733f62ad05)
Obyčejná diferenciální rovnice 1.řádu obsahuje pouze první derivace hledané funkce. Lze ji tedy vyjádřit ve tvaru
,
kde
je hledaná funkce. Pokud lze uvedenou rovnici rozřešit vzhledem k
pak užíváme tvaru
![{\displaystyle y^{\prime }=f(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcfa5391e062e93c503a3cc88777b443ad3c775a)
Tyto rovnice slouží k obecnému popisu lineárních i nelineárních obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu.
Příkladem nelineární diferenciální rovnice prvního řádu může být rovnice
.
Obecný tvar lineární diferenciální rovnice prvního řádu lze zapsat jako
![{\displaystyle y^{\prime }+a(x)y=b(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d42bbd8c7fa7e0c540bd971a2f58a8a1dae5ca)
Nejjednodušší diferenciální rovnici získáme z předchozího vyjádření pro
. Jde tedy o rovnici typu
![{\displaystyle y^{\prime }=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08c8dd9e6eb749f1129f5c20b70ffe73fa76e252)
Jedná se o lineární diferenciální rovnici prvního řádu, jejíž obecný integrál má tvar
![{\displaystyle y=\int f(x)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8699b8651499263c5191dd03fbcee928afa7038d)
Uvažujme obyčejnou diferenciální rovnici prvního řádu, kterou lze vyjádřit ve tvaru
![{\displaystyle y^{\prime }=f(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcfa5391e062e93c503a3cc88777b443ad3c775a)
Funkci
označíme jako separabilní (separovatelnou), pokud ji lze vyjádřit jako součin dvou funkcí
a
, tzn.
. Uvedená diferenciální rovnice pak získá tvar
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=g(x)h(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75159eac482284a58b277462d7afd28f1ebbea9f)
Takovéto diferenciální rovnice se označují jako separabilní (separovatelné) diferenciální rovnice.
V rovnici
oddělíme (separujeme) proměnné, čímž dostaneme
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{h(y)}}=g(x)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/542591a5fe16654466a770663c3117b9022f83cf)
Integrací obou stran této rovnice získáme obecné řešení, tzn.
,
kde
je integrační konstanta.
Lineární diferenciální rovnice prvního řádu[editovat | editovat zdroj]
Lineární diferenciální rovnici prvního řádu lze v obecném tvaru zapsat jako
,
kde
jsou spojité funkce. Tuto rovnici označujeme pro
jako nehomogenní rovnici, lineární diferenciální rovnici s pravou stranou nebo také úplnou lineární diferenciální rovnici.
Rovnici pro
, tzn.
![{\displaystyle y^{\prime }+p(x)y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a80981890a5c4d320b1f1fb9581d388115894c55)
označujeme jako homogenní rovnici, rovnici bez pravé strany nebo také jako zkrácenou lineární diferenciální rovnici.
Pokud
, kde
, pak hovoříme o lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty.
Homogenní rovnici lze řešit separací proměnných. Převedeme-li výraz
na pravou stranu rovnice a vydělíme
, můžeme provést integraci obou stran, tzn.
![{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} y}{y}}=-\int p(x)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0d0b3e9610033efc8d35f130a934aad4339ce4d)
Po integraci levé strany a odstranění logaritmu dostaneme
![{\displaystyle y=\mathrm {e} ^{-\int p(x)\mathrm {d} x+c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ca39a8efdd72a9a2f8d7f048ab5ebf437f23e8b)
Integrační konstantu
přepíšeme pomocí vztahu
, čímž získáme obecné řešení homogenní lineární diferenciální rovnice prvního řádu ve tvaru
![{\displaystyle y=C\mathrm {e} ^{-\int p(x)\mathrm {d} x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/188df1fc0d994d1d27e9b354f4693e638d1401f2)
Řešení rovnice
hledáme nejčastěji metodou variace konstanty nebo substituční metodou.
Metoda variace konstant (parametrů) (též Lagrangeova metoda) spočívá v tom, že řešení nehomogenní rovnice
hledáme ve tvaru
, tzn. předpokládáme, že řešení má stejný tvar jako v případě homogenní rovnice, avšak
nepovažujeme za konstantu, ale za funkci
, kterou je nutno určit tak, aby řešení vyhovovalo nehomogenní rovnici. Derivací takto upraveného řešení dostaneme
![{\displaystyle y^{\prime }=C^{\prime }(x)\mathrm {e} ^{-\int p(x)\mathrm {d} x}+C(x)\left[-p(x)\right]\mathrm {e} ^{-\int p(x)\mathrm {d} x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04badffe7252117ab8e40a2459553067ce71ad68)
Dosazením do
dostaneme po úpravě
![{\displaystyle C^{\prime }(x)\mathrm {e} ^{-\int p(x)\mathrm {d} x}=q(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0ab96bc7ee9f0e9caa19150d803805eede88425)
Převedením
na pravou stranu a integrací získáme
![{\displaystyle C(x)=\int \left[q(x)\mathrm {e} ^{\int p(x)\mathrm {d} x}\right]\mathrm {d} x+C_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8701680e33bfcb77aaf8ae7c324f35a354320b11)
Obecné řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice prvního řádu lze tedy vyjádřit ve tvaru
![{\displaystyle y=\left\{\int \left[q(x)\mathrm {e} ^{\int p(x)\mathrm {d} x}\right]\mathrm {d} x+C_{1}\right\}\mathrm {e} ^{-\int p(x)\mathrm {d} x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42a5dfbf1c76181ad71c4ea84a41afbb90ded786)
Podle předchozího výsledku lze obecné řešení nehomogenní diferenciální rovnice prvního řádu získat jako součet obecného řešení homogenní rovnice, tedy
a partikulárního řešení (pro
) nehomogenní rovnice, tzn.
.
Při substituční (Bernoulliově) metodě předpokládáme, že hledanou funkci
lze vyjádřit jako součin funkci
a
, tzn.
. Dosazením do
dostaneme
![{\displaystyle u^{\prime }v+uv^{\prime }+puv=u^{\prime }v+u(v^{\prime }+pv)=q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1123e80e44b52ff0afb19c6c3b7e661c36e3777a)
O členech v závorce dále předpokládáme, že splňují podmínku
![{\displaystyle v^{\prime }(x)+p(x)v(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/626be3fa7d9928e36986e67b881b1e7f578d657f)
Na základě této podmínky lze funkci
vyjádřit ve tvaru
. Dosadíme-li uvedenou podmínku a její řešení do předcházejícího vztahu, dostaneme
![{\displaystyle u^{\prime }(x)\mathrm {e} ^{-\int p(x)\mathrm {d} x}=q(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4581fb09d0b07ecad3f1282011f329aa2945371)
Separací proměnných pak získáme
![{\displaystyle u^{\prime }(x)=q(x)\mathrm {e} ^{\int p(x)\mathrm {d} x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b9e0d806954c966e97505d4a9e9265fb7938f84)
Integrací tohoto vztahu dostaneme
![{\displaystyle u(x)=\int \left[q(x)\mathrm {e} ^{\int p(x)\mathrm {d} x}\right]\mathrm {d} x+C_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80dc55dba6b159568c6da9ffff40321b18453bb4)
Obecné řešení pak získáme jako součin funkcí
.
Tuto metodu lze použít např. při řešení Bernoulliovy rovnice.
Obyčejnou diferenciální rovnici
-tého řádu, kde
, lze v obecném tvaru zapsat jako
,
kde
je hledaná funkce. Pro
hovoříme o rovnicích druhého řádu, pro
o rovnicích třetího řádu atd. Všechny diferenciální rovnice pro
bývají označovány společným názvem diferenciální rovnice vyšších řádů, popř. v daném konkrétním případě hovoříme o diferenciální rovnici
-tého řádu. Pro
se jedná o diferenciální rovnice prvního řádu, které mezi rovnice vyšších řádů nezařazujeme.
Pokud jsme schopni vyjádřit diferenciální rovnici vyššího řádu ve tvaru
,
pak říkáme, že rovnice je rozřešena vzhledem k nejvyšší derivaci.
Obecný tvar diferenciální rovnice vyššího řádu zahrnuje lineární i nelineární diferenciální rovnice.
Některé diferenciální rovnice vyšších řádů mají speciální tvar, který umožňuje jejich snadnější řešení.
Příkladem takové diferenciální rovnice jsou rovnice typu
![{\displaystyle y^{(n)}=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f52543410ac9ed320c2f09480c29450d82c0e7f0)
Tento typ diferenciálních rovnic řešíme postupnou integrací, tzn.
![{\displaystyle y^{(n-1)}=\int f(x)\mathrm {d} x+C_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1db2eea36d07ed4eb0175671bb9b9c3d68b94a41)
![{\displaystyle y^{(n-2)}=\int \mathrm {d} x\int f(x)\mathrm {d} x+C_{1}x+C_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6283beab60fb72107cf7a8161771670fc0af249)
- …
![{\displaystyle y=\int \mathrm {d} x\cdots \int f(x)\mathrm {d} x+C_{1}x^{n-1}+C_{2}x^{n-2}+...+C_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e2b36116aa3fe72aa91dca8a248a525dc19b35a)
Jiným speciálním typem jsou rovnice
,
kde
.
V takové rovnici se tedy nevyskytuje funkce
, ale pouze její derivace (od
-té po
-tou).
Diferenciální rovnice tohoto typu řešíme pomocí substituce
![{\displaystyle y^{(k)}=p(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c55e5731c0eebca1d094f921b2f0570a9b3357)
Použitím této susbtituce přejde uvedená rovnice do tvaru
![{\displaystyle F(x,p,p^{\prime },p^{\prime \prime },...,p^{(n-k)})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c39067733db26e42d31dc1337a49847ad23aba30)
Řešením této rovnice získáme funkci
, kterou dosadíme do
, čímž získáme rovnici speciálního typu
.
Lineární diferenciální rovnice vyššího řádu[editovat | editovat zdroj]
Lineární diferenciální rovnice
-tého řádu má obecný tvar
,
kde
jsou funkce, které jsou spojité na intervalu, na němž diferenciální rovnici řešíme.
Lineární rovnici pro
označujeme jako nehomogenní rovnici, lineární diferenciální rovnici s pravou stranou nebo také úplnou lineární diferenciální rovnici.
Rovnici pro
, tzn.
![{\displaystyle y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+a_{n-2}(x)y^{(n-2)}+...+a_{1}(x)y^{\prime }+a_{0}(x)y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c753cfa08fd93e90fd1d507a3b600b61b7a2f99c)
označujeme jako homogenní rovnici, rovnici bez pravé strany nebo také jako zkrácenou lineární diferenciální rovnici.
Pokud
pro všechna
, kde
, pak hovoříme o lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty.
Při řešení homogenních rovnic často využíváme toho, že pokud jsou funkce
řešením dané homogenní rovnice, pak je řešením této homogenní rovnice také funkce, která je lineární kombinací těchto funkcí, tzn.
,
kde
jsou konstanty.
Obdobné tvrzení lze (s drobnou úpravou) aplikovat také na nehomogenní rovnice. Pokud je
řešením rovnice
![{\displaystyle y_{1}^{(n)}+a_{n-1}(x)y_{1}^{(n-1)}+a_{n-2}(x)y_{1}^{(n-2)}+...+a_{1}(x)y_{1}^{\prime }+a_{0}(x)y_{1}=b_{1}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64f5c2e86b0e61085a7b63aabf5432ed134e11fd)
a
řešením rovnice
![{\displaystyle y_{2}^{(n)}+a_{n-1}(x)y_{2}^{(n-1)}+a_{n-2}(x)y_{2}^{(n-2)}+...+a_{1}(x)y_{2}^{\prime }+a_{0}(x)y_{2}=b_{2}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19587ccd4fab59f74336dafb32f091f1f59a7d9d)
pak funkce
je řešením rovnice
![{\displaystyle y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+a_{n-2}(x)y^{(n-2)}+...+a_{1}(x)y^{\prime }+a_{0}(x)y=b_{1}(x)+b_{2}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/675160504ea775f01f6d9d1572034ea0c3405108)
Toto tvrzení bývá také označováno jako princip superpozice. Princip superpozice splňují pouze lineární rovnice. Pokud tedy některá fyzikální zákonitost splňuje princip superpozice, pak jejímu popisu můžeme použít lineární rovnice. Tato skutečnost je ve fyzice často využívána.
Každá homogenní diferenciální rovnice vyššího řádu má tzv. triviální řešení
.
Po funkcích
na pravé straně lineární kombinace
požadujeme, aby byly lineárně nezávislé, tzn.
pouze tehdy, pokud
pro všechna
. Systém vzájemně nezávislých řešení
označujeme jako fundamentální systém (fundamentální řešení). Obecné řešení je pak vyjádřeno lineární kombinací fundamentálních řešení, tzn.
![{\displaystyle y(x)=c_{1}y_{1}(x)+c_{2}y_{2}(x)+...+c_{n}y_{n}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72230c9cfadb7d43dfbdba23e5b7f66b09b34828)
Jsou-li
řešením homogenní lineární diferenciální rovnice a koeficienty
jsou spojité na intervalu
, na kterém hledáme řešení této rovnice, pak je Wronskián na celém intervalu
různý od nuly pro všechna
.
Homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty[editovat | editovat zdroj]
Řešení homogenní lineární diferenciální rovnice
-tého řádu s konstantními koeficienty, tedy rovnice
,
kde
jsou konstanty, lze hledat ve tvaru
![{\displaystyle y=\mathrm {e} ^{\lambda x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0da393952a98f7f52841b265e87a7f0f016b6df)
Pro
-tou derivaci dostaneme
. Po dosazení do dostaneme
![{\displaystyle \left(\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+a_{n-2}\lambda ^{n-2}+...+a_{1}\lambda +a_{0}\right)\mathrm {e} ^{\lambda x}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3cd4e8d7b26e65b5dbe619197001da94cacd4cb)
Vzhledem k tomu, že
přestavuje hledané (netriviální) řešení, musí platit
![{\displaystyle \lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+a_{n-2}\lambda ^{n-2}+...+a_{1}\lambda +a_{0}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfadf03717f7d0c432f1251b32e41d8db91f394f)
Tuto (algebraickou) rovnici označujeme jako charakteristickou rovnici.
Řešením charakteristické rovnice získáme kořeny
, z nichž získáme fundamentální systém řešení tak, že
- každému
-násobnému reálnému kořenu
charakteristické rovnice přísluší právě
řešení homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, přičemž tato řešení lze zapsat ve tvaru
![{\displaystyle y_{1}=\mathrm {e} ^{\lambda x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e16101087ebf2d12503aff1161f8aa5b9231a0b)
![{\displaystyle y_{2}=x\mathrm {e} ^{\lambda x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc8e340d06e915125cd7e23d72660a5fd6183925)
![{\displaystyle y_{3}=x^{2}\mathrm {e} ^{\lambda x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5b09667ae0eb2e2ec7685e8fdd075884f782798)
- …
![{\displaystyle y_{k}=x^{k-1}\mathrm {e} ^{\lambda x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9232f9539ea45b8217fa66ed9835c29232180991)
- ke každému
-násobnému komplexnímu kořenu
je řešením charakteristické rovnice také
-násobný komplexně sdružený kořen
. Ke každé dvojici
-násobně komplexně sdružených kořenů
tedy přísluší
řešení homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty. Tato řešení mají tvar
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{ pro }}a+\mathrm {i} b&{\mbox{ pro }}a-\mathrm {i} b\\y_{1}=\mathrm {e} ^{ax}\cos {bx}&y_{m+1}=\mathrm {e} ^{ax}\sin {bx}\\y_{2}=x\mathrm {e} ^{ax}\cos {bx}&y_{m+2}=x\mathrm {e} ^{ax}\sin {bx}\\y_{3}=x^{2}\mathrm {e} ^{ax}\cos {bx}&y_{m+3}=x^{2}\mathrm {e} ^{ax}\sin {bx}\\\vdots &\vdots \\y_{m-1}=x^{m-2}\mathrm {e} ^{ax}\cos {bx}&y_{2m-1}=x^{m-2}\mathrm {e} ^{ax}\sin {bx}\\y_{m}=x^{m-1}\mathrm {e} ^{ax}\cos {bx}&y_{2m}=x^{m-1}\mathrm {e} ^{ax}\sin {bx}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe22bf17dfd676286fdaaefe95c6697736d73972)
Některé diferenciální rovnice, např. Eulerovu rovnici, lze vhodnými úpravami převést na homogenní lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty.
Nehomogenní lineární diferenciální rovnice vyššího řádu[editovat | editovat zdroj]
Obecné řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice vyššího řádu, tzn. rovnice
![{\displaystyle y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+a_{n-2}(x)y^{(n-2)}+...+a_{1}(x)y^{\prime }+a_{0}(x)y=b(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4410d4d8dd81a282a9ec522cf1bf733f62ad05)
lze obecně vyjádřit ve tvaru
,
kde
je obecné řešení homogenní rovnice příslušející k dané rovnici (tedy rovnice, v níž položíme
) a
je libovolné partikulární řešení nehomogenní rovnice. Obecné řešení homogenní rovnice lze vyjádřit ve tvaru
, proto bývá obecné řešení
také zapisováno jako
,
kde
jsou konstanty a
je fundamentální systém homogenní rovnice příslušející k dané nehomogenní rovnici.
Pokud tedy známe nějaké partikulární řešení nehomogenní rovnice, pak můžeme určit obecné řešení. V nejjednodušších případech lze partikulární řešení odhadnout. Ve složitějších případech však použijeme jiných metod.
Jednou z metod nalezení obecného řešení nehomogenní diferenciální rovnice je metoda variace konstant neboli Lagrangeova metoda, při níž vyjdeme z obecného řešení homogenní rovnice, která přísluší ke zkoumané rovnici. Partikulární řešení pak hledáme ve tvaru
![{\displaystyle y_{p}=c_{1}(x)y_{1}(x)+c_{2}(x)y_{2}(x)+...+c_{n}(x)y_{n}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd5bfd9b480766b326504293ce04ee924b949520)
Platí přitom, že takto určená funkce
vyhovuje dané nehomogenní lineární diferenciální rovnici, pokud funkce
vyhovují soustavě rovnic
![{\displaystyle c_{1}^{\prime }y_{1}+c_{2}^{\prime }y_{2}+...+c_{n}^{\prime }y_{n}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e9a7496d5da1018b6c0c5f569f69443609d500c)
![{\displaystyle c_{1}^{\prime }y_{1}^{\prime }+c_{2}^{\prime }y_{2}^{\prime }+...+c_{n}^{\prime }y_{n}^{\prime }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6805a86eabc1d8c78e2a78a5257483919eacf8b)
![{\displaystyle c_{1}^{\prime }y_{1}^{\prime \prime }+c_{2}^{\prime }y_{2}^{\prime \prime }+...+c_{n}^{\prime }y_{n}^{\prime \prime }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4ba5565f417328fd7be96f765be59cb10f494a5)
- …
![{\displaystyle c_{1}^{\prime }y_{1}^{(n-2)}+c_{2}^{\prime }y_{2}^{(n-2)}+...+c_{n}^{\prime }y_{n}^{(n-2)}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/842ae63b75bb61cb3e43ffba3725f79dd1c73956)
![{\displaystyle c_{1}^{\prime }y_{1}^{(n-1)}+c_{2}^{\prime }y_{2}^{(n-1)}+...+c_{n}^{\prime }y_{n}^{(n-1)}=b(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e45b51c27aa5e43add8027e966df8087d33227b3)
Z této soustavy určíme
, odkud pak integrací získáme
. Dosazením do vztahu pro
získáme partikulární řešení, jehož použitím dostaneme obecné řešení dané rovnice.
Nehomogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty[editovat | editovat zdroj]
Nehomogenní lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty lze zapsat jako
,
kde
jsou konstanty.
Obecné řešení této rovnice lze zapsat jako součet obecného řešení příslušné homogenní rovnice a partikulárního řešení, tzn.
![{\displaystyle y=y_{h}+y_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2756dd440f8cfa429a60bf180c123bdf6bf949c6)
K nalezení partikulárního řešení
můžeme použít metodu variace konstant. Ta se používá především pro diferenciální rovnice nižších řádů.
Jinou metodou k nalezení partikulárního řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty je tzv. metoda speciální pravé strany.
Tato metoda umožňuje odhadnout partikulární řešení
na základě tvaru pravé strany diferenciální rovnice, tzn. na základě
.
Předpokládejme, že pravá strana diferenciální rovnice má tvar
,
kde
je polynom
-tého stupně a
je polynom
-tého stupně.
Pokud
není kořenem charakteristické rovnice, pak partikulární řešení hledáme ve tvaru
,
kde
jsou polynomy stupně
.
Pokud je
-násobným kořenem charakteristické rovnice, pak partikulární řešení hledáme ve tvaru
,
kde
jsou opět polynomy stupně
.
Speciálními případy jsou
, kdy
a stupeň polynomu
je shodný se stupněm polynomu
, nebo
, kdy
.
Metodu speciální pravé strany lze použít i v případě, že pravou stranu lze vyjádřit jakou součet výrazů
, např.
. V takovém případě najdeme partikulární řešení
pro pravou stranu
a poté partikulární řešení
pro pravou stranu
. Partikulární řešení
pro pravou stranu
pak získáme součtem partikulárních řešení
a
, tzn.
.
Kategorie:Diferenciální počet
Kategorie:Rovnice