Sigma algebra: Porovnání verzí
+definice slovy |
+Měřitelná množina, napřímení odkazů |
||
Řádek 1: | Řádek 1: | ||
'''<math>\sigma</math>-algebra''' ('''sigma-algebra''', též <math>\sigma</math>-těleso) je v [[matematika|matematice]] libovolný neprázdný [[systém množin]], který je uzavřený na [[spočetná množina|spočetné]] [[ |
'''<math>\sigma</math>-algebra''' ('''sigma-algebra''', též <math>\sigma</math>-těleso) je v [[matematika|matematice]] libovolný neprázdný [[systém množin]], který je uzavřený na [[spočetná množina|spočetné]] [[sjednocení]] a na [[rozdíl množin|rozdíl]] dvou prvků a obsahuje sjednocení všech svých prvků. Prefix <math>\sigma</math> v názvu vyjadřuje uzavřenost na [[Spočetná množina|''spočetné'']] sjednocení. |
||
V [[teorie míry|teorii míry]] se <math>\sigma</math>-algebra nazývá '''měřitelný prostor'''. |
V [[teorie míry|teorii míry]] se <math>\sigma</math>-algebra nazývá '''měřitelný prostor'''. |
||
'''Měřitelná množina''' je každá množina ze systému množin tvořících <math>\sigma</math>-algebru (tj. každý prvek <math>\mathcal{A}</math> v níže uvedené definici). |
|||
== Formální definice == |
== Formální definice == |
||
[[Uspořádaná |
[[Uspořádaná n-tice|Uspořádanou dvojici]] <math>(\Omega,\mathcal{A})</math>, kde <math>\Omega</math> je libovolná množina a <math>\mathcal{A} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)</math> je nějaký systém jejích podmnožin, nazveme '''<math>\sigma</math>-algebrou''', jestliže <math>\mathcal{A}</math> obsahuje prázdnou množinu a je uzavřený na spočetné sjednocení a doplněk, tj. |
||
# <math>\emptyset\in\mathcal{A}</math> |
# <math>\emptyset\in\mathcal{A}</math> |
Verze z 29. 11. 2019, 11:13
-algebra (sigma-algebra, též -těleso) je v matematice libovolný neprázdný systém množin, který je uzavřený na spočetné sjednocení a na rozdíl dvou prvků a obsahuje sjednocení všech svých prvků. Prefix v názvu vyjadřuje uzavřenost na spočetné sjednocení.
V teorii míry se -algebra nazývá měřitelný prostor.
Měřitelná množina je každá množina ze systému množin tvořících -algebru (tj. každý prvek v níže uvedené definici).
Formální definice
Uspořádanou dvojici , kde je libovolná množina a je nějaký systém jejích podmnožin, nazveme -algebrou, jestliže obsahuje prázdnou množinu a je uzavřený na spočetné sjednocení a doplněk, tj.
- jestliže , pak
- jestliže , pak
Další vlastnosti
- -algebra obsahuje sjednocení všech svých prvků: ; dostaneme dosazením prázdné množiny za v poslední části definice
- -algebra je uzavřená na spočetný průnik svých prvků: jestliže , pak
Použití
Koncept -algebry je důležitý především v teorii míry, kde se nazývá měřitelný prostor, a v teorii pravděpodobnosti. Míra je libovolná nezáporná množinová funkce, která je -aditivní a má na prázdné množině hodnotu 0. Pravděpodobnost je míra, která má na univerzální množině hodnotu 1.
Měřitelná množina
Jestliže je libovolná množina a je -algebra, pak měřitelná množina je libovolná množina, která patří do .