Přeskočit na obsah

Konstrukce trojúhelníku

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Konstrukce obecného trojúhelníku je postup, jehož cílem je pomocí kružítka a pravítka (či specializovaného software) při určitém zadaném počtu prvků trojúhelníku (miniálně 3 nezávislé prvky) vytvořit trojúhelník odpovídající tomuto zadání.

Konstrukční úlohy se dělí na polohové, kdy je nutné dodržet při konstrukci pořadí prvků požadovaných zadáním, a úlohy nepolohové, kdy při konstrukci lze vybrat jakýkoliv zadaný prvek jako první. Nejdůležitější výběr základních prvků, které se používají pro zadání konstrukce trojúhelníka (nepolohové úlohy):

Konstrukční prvek
3 strany a b c
3 těžnice ta tb tc
3 výšky va vb vc
3 úhly α β γ
1 kružnice opsaná r
1 kružnice vepsaná ρ

Výběrem 3 prvků z těchto 14 základních je možné pro zadání konstrukce trojúhelníka definovat kombinací zadání, které lze seskupit do následujících skupin typů zadání:

Č. Skupina zadání Možné kombinace Počet Postup řešení Obtížnost
1 3 strany (věta sss) abc 1 např. 1. AB |AB|= strana c; 2. k;k(A; strana b), 3.l;l(B;strana a) 4 . C; C € k∩l nízká
2 2 strany a těžnice proti některé z nich {a,b,ta} {a,b,tb} {b,c,tb} {b,c,tc} {a,c,ta} {a,c,tc} 6 průsečík těžnice a 1/2 strany proti ní je středem strany poté doplnění na trojúhelník nízká
3 2 strany a těžnice proti třetí z nich {a,b,tc} {a,c,tb} {b,c,ta} 3
4 2 strany a výška proti některé z nich {a,b,va} {a,b,vb} {a,c,va} {a,c,vc} {b,c,vb} {b,c,vc} 6
5 2 strany a výška proti třetí z nich {a,b,vc} {b,c,va} {a,c,vb} 3
6 1 strana a 2 těžnice jedna proti ní a druhá proti jedné z dalších stran {a,ta,tb} {a,ta,tc} {b,ta,tb} {b,tb,tc} {c,ta,tc} {c,tb,tc} 6
7 1 strana a 2 těžnice proti ostatním stranám {a,tb,tc} {b,ta,tc} {c,ta,tb} 3
8 1 strana a 2 výšky, jedna proti ní a druhá proti jedné z dalších stran {a,va,vb} {a,va,vc} {b,va,vb} {b,vb,vc} {c,va,vc} {c,vb,vc} 6
9 1 strana a 2 výšky proti ostatním stranám {a,vb,vc} {b,va,vc} {c,va,vb} 3
10 1 stana, 1 těžnice a 1 výška proti ní {a,ta,va} {b,tb,vb} {c,tc,vc} 3
11 1 strana, 1 těžnice proti ní a 1 výška proti jedné z dalších stran {a,ta,vb} {a,ta,vc} {b,tb,va} {b,tb,vc} {c,tc,va} {c,tc,vb} 6
12 1 strana, 1 výška proti ní a 1 těžnice proti jedné z dalších stran {a,tb,va} {a,tc,va} {b,tc,vb} {b,ta,vb} {c,tb,vc} {c,ta,vc} 6
13 1 strana, 1 těžnice a 1 výška proti dalším stranám {a,tb,vc} {a,tc,vb} {b,ta,vc} {b,tc,va} {c,ta,vb} {c,tb,va}

{a,tb,vb} {a,tc,vc} {b,ta,va} {b,tc,vc} {c,ta,va} {c,tb,vb}

12
14 3 těžnice {ta,tb,tc} 1 střední
15 2 těžnice a 1 výška ze strany, ze které jde jedna z těžnic {ta,tb,va} {ta,tb,vb} {ta,tc,va} {ta,tc,vc} {tb,tc,vb} {tb,tc,vc} 6
16 2 těžnice a 1 výška proti třetí straně {ta,tb,vc} {ta,tc,vb} {tb,tc,va} 3
17 1 těžnice a 2 výšky (1 těžnice a 1 výška proti jedné ze stran) {ta,va,vb} {ta,va,vc} {tb,va,vb} {tb,vb,vc} {tc,va,vc} {tc,vb,vc} 6
18 2 výšky a 1 těžnice proti třetí straně {ta,vb,vc}{tb,va,vc}{tc,va,vb} 3
19 3 výšky {va,vb,vc} 1 vysoká
20 2 strany a úhel jimi sevřený (věta sus) {a,b,γ} {a,c,β} {b,c,α} 3
21 2 strany a úhel jimi nesevřený (věta ssu) {a,b,α} {a,b,β} {a,c,α} {a,c,γ} {b,c,β} {b,c,γ} 6
22 1 strana a 2 přilehlé úhly (věta usu) {a,β,γ} {b,α,γ}{c,α,β} 3 nízká
23 1 strana, jeden úhel přilehlý a druhý proti straně {a,α,β} {a,α,γ} {b,α,β} {b,β,γ} {c,α,γ} {c,β,γ} 6
24 3 úhly {α,β,γ} 1 lze sestrojit nekonečné množství podobných trojúhelníků nízká