Bernsteinův polynom
V teorii numerické matematiky je Bernsteinův polynom, nebo také polynom v Bernsteinově tvaru, polynomem, který je lineární kombinací Bernsteinových bázových polynomů.
Numericky stabilní cestou k výpočtu Bernsteinových polynomů je tzv. Algoritmus de Casteljau.
Polynomy v Bernsteinově tvaru byly poprvé použity v konstrukčním důkaze Stoneovy–Weierstrassovy aproximační věty. S rozvojem počítačové grafiky se Bernsteinovy polynomy omezené na intervalu staly důležitými ve formě Beziérových křivek.
Definice[editovat | editovat zdroj]
n+1 Bernsteinových bázových polynomů stupně je definováno vztahem
kde je binomický koeficient.
Bernsteinovy bázové polynomy stupně tvoří bázi vektorového prostoru polynomů stupně .
Lineární kombinace Bernsteinových bázových polynomů
se nazývá Bernsteinův polynom, neboli polynom v Bernsteinově tvaru stupně . Koeficienty jsou nazývány Bernsteinovy koeficienty, nebo také Beziérovy koeficienty.
Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]
Rozklad jednotky[editovat | editovat zdroj]
Báze tvořená Bernsteinovými polynomy tvoří rozklad jednotky na intervalu .
Symetrie[editovat | editovat zdroj]
V bázi tvořené Bernsteinovými polynomy existují vždy symetrické polynomy.
Důkaz:
Z vlastností kombinačních čísel vyplývá:
Nyní stačí upravit předchozí rovnici a získáme že:
Rekurence[editovat | editovat zdroj]
Bernsteinovy polynomy jsou rekurentní. To znamená že Bernsteinův polynom lze definovat použitím polynomu nižšího řádu.
Derivace[editovat | editovat zdroj]
Lokální maximum[editovat | editovat zdroj]
Na intervalu je maximum v bodě .
Důkaz: Maximum najdeme skrze derivaci:
Nyní můžeme nahlédnout, že pro body nezískáme nulovou derivaci. Proto zbývá pouze činitel v závorce, který můžeme položit nule.
Že tento bod leží na intervalu vyplývá z nerovnosti .
Příklad[editovat | editovat zdroj]
Prvních několik Bernsteinových bázových polynomů vypadá takto:
Reference[editovat | editovat zdroj]
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Bernstein_polynomial na anglické Wikipedii.
Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]
- Obrázky, zvuky či videa k tématu Bernsteinův polynom na Wikimedia Commons