Difuzní rovnice
Difuzní rovnice je matematický model difuze. Jedná se o obecnou rovnici používanou obecněji k modelování transportních dějů v přírodě. Tedy nejenom k modelování difuze, ale i k modelování vedení tepla nebo proudění podzemní vody. Difuzní rovnice bývá formulována v mnoha více či méně konkretizovaných tvarech v závislosti na spefických vlastnostech materiálu (izotropie, homogenita, (ne-)linearita) nebo difuzního procesu (existence nebo neexistence zdrojů, stacionarita nebo časový vývoj apod.)
Obecný tvar difuzní rovnice[editovat | editovat zdroj]
Difuzní rovnice vznikne dosazením konstitutivního zákona do rovnice kontinuity. Tímto spojením vznikne parciální diferenciální rovnice
Slovně tato rovnice vyjadřuje,
- že množství stavové veličiny, které v daném v daném místě přibude za jednotku času je dáno součtem množství, které vygenerují zdroje a množství, o které se zeslabí tok tímto místem (rovnice kontinuity),
- a že tok je úměrný poklesu koncentrace látky podléhající difuzi (s povolením tenzorové povahy pro konstantu úměrnosti, konstitutivní zákon).
Difuzní rovnice v kartézských souřadnicích[editovat | editovat zdroj]
V kartézských souřadnicích je možné difuzní rovnici ve dvou dimenzích pro obecný tenzorový difuzní koeficient rozepsat do tvaru
- Jsou-li souřadné osy ve vlastních směrech difuzního koeficientu, neuplatní se člen se smíšenými derivacemi, protože v tomto případě je difuzní koeficient diagonální maticí a platí . Pro transformaci do takové soustavy souřadnic slouží matice přechodu.
- Je-li materiál izotropní, je difuzní koeficient skalární veličinou a potom platí a . Při vhodné volbě jednotek je navíc možno tento koeficient položit roven jedné.
- Je-li materiál homogenní a je-li difuzní koeficient nezávislý na hustotě veličiny podléhající difuzi, je možné členy s kvaziderivacemi ve tvaru upravit na členy s druhými derivacemi ve tvaru .
- Pro izotropní homogenní materiál s difuzním koeficentem nezávislým na hustotě veličiny se rovnice redukuje na rovnici[1] kde je Laplaceův operátor.
- Je-li paricální derivace podle času na levé straně rovnice nulová, redukuje se rovnice na stacionární difuzní rovnici. Taková rovnice modeluje stacionární stav, který většinou nastane poté, co se studovaný systém vyrovná s vnějšimi podmínkami a tok i hustota se ustálí na stabilních hodnotách.
- Pokud veličina podléhající difuzi nemůže vznikat ani zanikat, neuplatní se člen vyjadřující působení zdrojů a platí . V tomto případě jde o bezzdrojovou rovnici.
Vzhledem k výše uvedeným možným modifikacím a zjednodušením se zřídka pracuje s difuzní rovnicí přímo v uvedeném tvaru, ale pracuje se s jejími vhodnými specifikacemi.
Některá zobecnění difuzní rovnice[editovat | editovat zdroj]
- Pro modelování difuze v pohyblivém prostředí je nutno do celkové bilance započítat i pohyb tohoto prostředí. Příslušná rovnice se nazývá rovnice reakce difuze.
- Pro některé úlohy je vhodnější použít nelineární mocninnou závislost v konstitutivním zákoně. To vede na difuzní rovnici s p-Laplaciánem namísto lineárního Laplaceova operátoru.
Reference[editovat | editovat zdroj]
- ↑ DRÁBEK, Pavel; HOLUBOVÁ, Gabriela. Parciální diferenciální rovnice [online]. Plzeň: 2011-09-01 [cit. 2022-06-06]. S. 213. Dostupné online.