Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Puls na struně s upevněnými konci modelovaný jednorozměrnou vlnovou rovnicí.
Vlnová rovnice je významnou parciální diferenciální rovnicí druhého řádu hyperbolického typu, která charakterizuje dynamiku vlnění, ať už v akustice, optice, elektromagnetismu či mechanice.
Vlnovou homogenní rovnici lze vyjádřit ve tvaru:
![{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{2}^{2}}}+...+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{n}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9ff297a77540380722a2ff819278111a9f69f18)
nebo ekvivalentně ve tvaru pomocí Laplaceova operátoru:
![{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}=\Delta z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f39828a8b3a67d0ec53a1def786761d159cd273)
kde
představuje skalární funkci polohy a času.
V obecnějším tvaru má vlnová rovnice nehomogenní vyjádření:
.
Vlnové rovnice popisující šíření proudových resp. napěťových vln v čase
po homogenním elektrickém vedení s rozloženými parametry o délce
:
Element dx elektrického vedení modelovaný Г-článkem.
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}i\left(t,x\right)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}\ }}i\left(t,x\right)-B{\frac {\partial }{\partial t}}i\left(t,x\right)-A\ i\left(t,x\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c7e6d1d820b16ed0349ca597ae1ac1835334968)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}u\left(t,x\right)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}\ }}u\left(t,x\right)-B{\frac {\partial }{\partial t}}u\left(t,x\right)-A\ u\left(t,x\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a7639254e0b0877d0a624839e083cb99a44bf51)
![{\displaystyle c^{2}={\frac {1}{\text{LC}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10473f62f3cf6eaaa6c31ed9c172fdc1bb56f72f)
![{\displaystyle B=\left(RC+LG\right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db679fc26ea7992b318ddf55d8d52902a3cd8c65)
![{\displaystyle A=RG}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1ed8f8e6d7c464a60abe0fda0fe6d6729543ac3)
řešitelné při znalosti soustavy počátečních podmínek resp. okrajových podmínek I. druhu:
resp. ![{\displaystyle i\left(t,0\right)\equiv \mu _{i}\left(t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca11177d90a8c6136a4830e103375becff691b10)
resp. ![{\displaystyle i\left(t,l\right)\equiv \nu _{i}\left(t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884bd70d90e871b18cd54b238ba6cdfd38426810)
resp. ![{\displaystyle u\left(t,0\right)\equiv \mu _{u}\left(t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8637bdee92b738ba78ff2bb6453a25755721711c)
resp. ![{\displaystyle u\left(t,l\right)\equiv \nu _{u}\left(t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e685cca7942905f6fb3cf2191ed765c07c47dbff)
mají následující partikulární řešení pro fázory proudu a napětí splňující podmínky
resp.
:
![{\displaystyle \mathbf {I} \left(x\right)=\mathbf {I} \left(0\right)\cosh {\mathbf {p} x}-\mathbf {Y} _{0}\mathbf {U} \left(0\right)\sinh {\mathbf {p} x}=\psi _{i}\left(x\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b8b3f321f5de7a75a12d0f59d610529fd0b2147)
![{\displaystyle \mathbf {U} \left(x\right)=\mathbf {U} \left(0\right)\cosh {\mathbf {p} x}-\mathbf {Z} _{0}\mathbf {I} \left(0\right)\sinh {\mathbf {p} x}=\psi _{u}\left(x\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f585d11d0f5d0e75b9bf1090c255072cf929422)
resp.
![{\displaystyle \mathbf {I} \left(x\right)=\mathbf {I} \left(l\right)\cosh {\mathbf {p} (x-l)}-\mathbf {Y} _{0}\mathbf {U} \left(l\right)\sinh {\mathbf {p} (x-l)}=\psi _{i}\left(x\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a108f56a4f7d522ffee4a955c8718195fc49e97b)
![{\displaystyle \mathbf {U} \left(x\right)=\mathbf {U} \left(l\right)\cosh {\mathbf {p} (x-l)}-\mathbf {Z} _{0}\mathbf {I} \left(l\right)\sinh {\mathbf {p} (x-l)}=\psi _{u}\left(x\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8ef855703523126e27b80b8f91ec6c6e0b3df99)
kde:
![{\displaystyle \mathbf {p} ^{2}=\left(R+j\omega L\right)\left(G+j\omega C\right)=\mathbf {Z} \ \mathbf {Y} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ccc251fd970147b6b100c4dc822d599d6561f57)
![{\displaystyle \mathbf {Z} _{0}\equiv {\sqrt {\frac {\mathbf {Z} }{\mathbf {Y} }}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d49eb708cd947a89c10e703a85c20edde8c86de)
![{\displaystyle \mathbf {Y} _{0}\equiv {\sqrt {\frac {\mathbf {Y} }{\mathbf {Z} }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7c286f3f66c5e9f3dfdb15ee030a7040f9126c6)
a
jsou parametry vedení (rezistance, indukčnost, konduktance, kapacita) a
je úhlová frekvence sítě.