Poissonova závorka označuje matematický výraz používaný v matematice a klasické mechanice (konkrétně v Hamiltonovské mechanice), kde se využívá k popisu časového vývoje dynamického systému. V matematice se Poissonova závorka používá k definici Poissonovy algebry (příkladem Poissonovy algebry je Poissonova varieta).
Poissonova závorka je pojmenována po Siméonu-Denisi Poissonovi.
Mějme ve fázovém prostoru s kanonickými souřadnicemi
dvě funkce
a
. Poissonova závorka má pak tvar
![{\displaystyle \{f,g\}=\{f,g\}_{p,q}=\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c49e5bb5881e1652a7e216707374926575d63286)
Lze dokázat, že hodnota Poissonovy závorky
je invariantní vůči kanonickým transformacím, tzn.
![{\displaystyle \{f,g\}_{p,q}=\{f,g\}_{P,Q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b95dfdadfdee1f29f2a1ab994c540ee677895ceb)
Není tedy nutno uvádět, ke kterým kanonickým souřadnicím se Poissonova závorka vztahuje.
Poissonovy závorky splňují následující vztahy
![{\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eff1f1f4a7eef368856844d55a700e559463abe1)
Poissonova závorka je tedy antikomutativní. Speciálním případem tohoto vztahu je
![{\displaystyle \{f,f\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9091706a9a5bfcae472e4565cb18c7f272f6982d)
Dále platí
![{\displaystyle \{(f_{1}+f_{2}),g\}=\{f_{1},g\}+\{f_{2},g\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/425966439da37c58ca39e165ee598c9dde77084a)
![{\displaystyle \{(f_{1}f_{2}),g\}=f_{1}\{f_{2},g\}+f_{2}\{f_{1},g\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e69aefc29f48092e0cc7706523ae45d36a6fe100)
Platí také tzv. Jacobiho identita
![{\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/022941efe73a03dbf8e90d3ca46fa4aba6bce0bd)
Pro časovou derivaci Poissonovy závorky platí
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\{f,g\}=\left\{{\frac {\partial f}{\partial t}},g\right\}+\left\{f,{\frac {\partial g}{\partial t}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d933886a87486ec505e2c307ca3bcd69de443190)
S využitím Hamiltonových kanonických rovnic lze pro totální časovou derivaci funkce f psát
,
Kde
je Hamiltonova funkce. Funkce
je tedy integrálem pohybových rovnic tehdy, pokud platí
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+\{f,H\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f441480299617206691e0445adfe7b5033c36e65)
V případě, že
nezávisí explicitně na čase, zjednoduší se předchozí rovnice na tvar
![{\displaystyle \{f,H\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f345fe15eda657203f86aa19444b9c1b9ca4d47a)
Zvolíme-li za funkci
Hamiltonovu funkci
, pak podle bude platit
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial H}{\partial t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/488f697e833405cebb69a20e79315c2a3ace8758)
Podle tohoto vztahu se tedy Hamiltonova funkce zachovává tehdy, když nezávisí explicitně na čase.
Platí, že jsou-li funkce f, g integrály pohybových rovnic, je integrálem pohybových rovnic také Poissonova závorka
.
Důležitými Poissonovými závorkami jsou takové závorky, v nichž roli f a g hrají souřadnice a hybnosti. Někdy se také hovoří o fundamentální Poissonově závorce.
Takové Poissonovy závorky lze pak vyjádřit vztahy
![{\displaystyle \{Q_{i},P_{j}\}=\delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8948df17396e5ec8778f7a86da3eaab42aec68da)
![{\displaystyle \{Q_{i},Q_{j}\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a561de395c4876775968a09eec3b72d954f319a)
![{\displaystyle \{P_{i},P_{j}\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9303b88416df6ce6d78b8710676ef6a89285fb61)
kde
je Kroneckerovo delta.