Tento článek je o geometrické ploše. O pracovní ploše v počítači pojednává článek
Desktopové prostředí.
Plocha označuje v matematice a fyzice dvojrozměrný geometrický útvar. Příkladem ploch jsou rovina, kulová plocha, povrch válce nebo kuželová plocha. Přesné matematické definice se v různých kontextech a v různých teoriích liší.
Výraz plocha se někdy nesprávně používá nejen pro označení geometrického útvaru, ale také pro označení obsahu geometrického tělesa.
V dalším předpokládejme, že plocha je podmnožina třírozměrného euklidovského prostoru. Můžeme ji definovat jako množinu všech bodů, jejichž souřadnice vyhovují rovnici
,
kde
je funkce, která má v každém bodě spojitou parciální derivaci alespoň prvního řádu a na žádné otevřené množině není identicky rovna nule.
Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají regulární body plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu nulové označujeme jako singulární body. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol kužele.
Singulární bod, v němž funkce
má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá kónický bod plochy.
Plocha určená svojí normálou se označuje jako orientovaná plocha.
Rovnici plochy lze vyjádřit v různých tvarech.
Implicitní rovnice plochy má tvar
![{\displaystyle F(x,y,z)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0796f292c93e738b5c7c46a9aea6023ceb2d8ec7)
Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny soustavou rovnic
![{\displaystyle x=x(u,v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fdd605515e00cc0a45af42ba3df16046defac9b)
![{\displaystyle y=y(u,v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc932826f9f3a969aee6da3cf579aad8966ffb8)
![{\displaystyle z=z(u,v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e263aebd2eeba9e55fd1072eb87e251125d01faf)
Tato soustava rovnic představuje parametrické vyjádření plochy, přičemž
jsou parametry plochy. Každou dvojici
z určitého oboru
nazýváme bodem plochy. Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na
spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle
a
.
Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar
,
pak hovoříme o explicitní rovnici plochy.
Vztahy mezi normálou plochy
, rádiusvektorem
a jejich derivacemi určují tzv. základní rovnice plochy. Tyto rovnice lze pro plochu určenou
uvést v různých tvarech.
Weingartenovy rovnice plochy určují vztahy mezi derivacemi vektorů
a
.
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial u}}={\frac {FM-GL}{EG-F^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}+{\frac {FL-EM}{EG-F^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95a320d581a1040431c1e801f3e817e35c1dc259)
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial v}}={\frac {FN-GM}{EG-F^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}+{\frac {FM-EN}{EG-F^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07d887731c7090944d2f45f3763e25c11d0d4f11)
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}={\frac {MF-NE}{LN-M^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial u}}+{\frac {ME-LF}{LN-M^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75102f4383d6328f60339fa69c14bbb291cb3c31)
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}={\frac {MG-NF}{LN-M^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial u}}+{\frac {MF-LG}{LN-M^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9881a0c4ee495534e864f473ef08ddd6f85f09ef)
kde
jsou základní veličiny plochy prvního řádu a
jsou základní veličiny plochy druhého řádu.
Gaussovy rovnice plochy umožňují určit druhou derivaci polohového vektoru
.
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial u^{2}}}={\frac {G{\frac {\partial E}{\partial u}}-2F{\frac {\partial F}{\partial u}}+F{\frac {\partial E}{\partial v}}}{2(EG-F^{2})}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}+{\frac {-F{\frac {\partial E}{\partial u}}+2E{\frac {\partial F}{\partial u}}-E{\frac {\partial E}{\partial v}}}{2(EG-F^{2})}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}+L\mathbf {n} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eadd26a2971a2f6c86961b1a479a9b1561e86d8a)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial u\partial v}}={\frac {G{\frac {\partial E}{\partial v}}-F{\frac {\partial G}{\partial u}}}{2(EG-F^{2})}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}+{\frac {E{\frac {\partial G}{\partial u}}-F{\frac {\partial E}{\partial v}}}{2(EG-F^{2})}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}+M\mathbf {n} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5495bf71e69ef4bceaf51858d1bb4117b4d10d4)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial v^{2}}}={\frac {-F{\frac {\partial G}{\partial v}}+2G{\frac {\partial F}{\partial v}}-G{\frac {\partial G}{\partial u}}}{2(EG-F^{2})}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}+{\frac {E{\frac {\partial G}{\partial v}}-2F{\frac {\partial F}{\partial v}}+F{\frac {\partial G}{\partial u}}}{2(EG-F^{2})}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}+N\mathbf {n} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d8445e5d4850a7580390645be28ec25743f9d45)
kde
jsou základní veličiny plochy prvního řádu a
jsou základní veličiny plochy druhého řádu.
Codazziho (nebo také Mainardiho) rovnice plochy určují vztahy mezi základními veličinami plochy prvního řádu
a základními veličinami plochy druhého řádu
.
![{\displaystyle (EG-2F^{2}+GE)\left({\frac {\partial L}{\partial v}}-{\frac {\partial M}{\partial u}}\right)-(EN-2FM+GL)\left({\frac {\partial E}{\partial v}}-{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)+{\begin{vmatrix}E&{\frac {\partial E}{\partial u}}&L\\F&{\frac {\partial F}{\partial u}}&M\\G&{\frac {\partial G}{\partial u}}&N\end{vmatrix}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00bf4992abb46e9e2c4620b36563e94a49d2d468)
![{\displaystyle (EG-2F^{2}+GE)\left({\frac {\partial M}{\partial v}}-{\frac {\partial N}{\partial u}}\right)-(EN-2FM+GL)\left({\frac {\partial F}{\partial v}}-{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)+{\begin{vmatrix}E&{\frac {\partial E}{\partial v}}&L\\F&{\frac {\partial F}{\partial v}}&M\\G&{\frac {\partial G}{\partial v}}&N\end{vmatrix}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/080f6b526db8bdcad704acdf03907069bb76ba46)
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}&{\frac {\partial y}{\partial u}}&{\frac {\partial z}{\partial u}}\\{\frac {\partial x}{\partial v}}&{\frac {\partial y}{\partial v}}&{\frac {\partial z}{\partial v}}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4792bfb7c2c8a87646b9ebf4d6644f707e59dffe)
Body plochy, v nichž má tato matice hodnost
jsou regulárními body. Je-li hodnost matice
, pak jde o singulární body.
- Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v
nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost
, pak plochu označujeme jako hladkou.