Integrace racionálních funkcí se týká neurčitého integrálu tvaru
, kde
jsou polynomy.
Racionální funkci
je vždy možné rozložit na součet polynomu a ryze racionální lomené funkce. Racionální lomenou funkci vyjádříme jako součet parciálních zlomků. Vzhledem k tomu, že integrace polynomu je triviální, zbývá řešit integraci lomené racionální funkce, která se však v nejobecnějším případě redukuje na řešení integrálu
![{\displaystyle I_{1}=\int {\frac {A}{{(x-a)}^{n}}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae9bfa23d500809b4d88fffa76076f06b5e63e83)
pro přirozené číslo
a
, a integrálu
![{\displaystyle I_{2}=\int {\frac {Mx+N}{{(x^{2}+px+q)}^{n}}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9616ce3186b950dd1b4dc0c644b5fe69b6808c54)
pro přirozené číslo
, přičemž diskriminant D výrazu
je záporný.
Pro integrál
dostaneme pro
aplikováním základních integračních vztahů výraz
![{\displaystyle \int {\frac {A}{x-a}}\,\mathrm {d} x=A\ln {|x-a|}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff5ad8899f1c0a9badc5ea960665d3c5fe8c544)
pro
.
Pro
pak pro
ze základních vztahů plyne
![{\displaystyle \int {\frac {A}{{(x-a)}^{n}}}\,\mathrm {d} x={\frac {A}{1-n}}{\frac {1}{{(x-a)}^{n-1}}}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a287031698a8b1094a7c2aa32a0ee7cb8eb8cb2)
pro
.
Integrál
pro
lze převést na integrál
pomocí substituce
,
kde
a
. Pomocí základních integračních vztahů pak dostaneme
![{\displaystyle \int N{\frac {\,\mathrm {d} x}{x^{2}+px+q}}=N\int {\frac {\,\mathrm {d} x}{{(x+{\frac {p}{2}})}^{2}-({\frac {p^{2}}{4}}-q)}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/247ed976e4c1bb31320956818f3147c6cb86dff6)
![{\displaystyle =N\int {\frac {\,\mathrm {d} z}{z^{2}+a^{2}}}={\frac {N}{a}}\operatorname {arctg} {\frac {z}{a}}+C={\frac {N}{\sqrt {-D}}}\operatorname {arctg} {\frac {x+{\frac {p}{2}}}{\sqrt {-D}}}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/959ffa499b167b9dc09f79121949c67970ceeef2)
Integrál
pro
a
upravíme tak, aby v čitateli byl (až na aditivní konstantu) násobek derivace jmenovatele, což umožňuje úpravu
![{\displaystyle \int {\frac {kf^{\prime }(x)+A}{f(x)}}\,\mathrm {d} x=k\int {\frac {f^{\prime }(x)}{f(x)}}\,\mathrm {d} x+\int Af(x)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a0e482a8e7e14685768e726572693c206d471e7)
Řešení prvního integrálu lze najít podle základních integračních vztahů a druhý integrál je integrál typu
pro
. Využijeme-li toho, že
a současně
![{\displaystyle Mx+N={\frac {M}{2}}\left(2x+{\frac {2N}{M}}\right)={\frac {M}{2}}\left[(2x+p)+({\frac {2N}{M}}-p)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90569ad8b5b1c17a5f605505a48ed6fe6c40b6bb)
pak dostáváme řešení
![{\displaystyle \int {\frac {Mx+N}{x^{2}+px+q}}\,\mathrm {d} x={\frac {M}{2}}\int {\frac {2x+p}{x^{2}+px+q}}\,\mathrm {d} x+{\frac {M}{2}}({\frac {2N}{M}}-p)\int {\frac {\,\mathrm {d} x}{x^{2}+px+q}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac30ce5e78a27de82d59f169296f905aaceedc18)
![{\displaystyle ={\frac {M}{2}}\ln {|x^{2}+px+q|}+AI}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deabeb349b16962f753e963df3f6e10fcfe49108)
kde
je integrál typu
pro
.
Integrál
pro
lze pomocí substituce
a
upravit na tvar
![{\displaystyle K_{n}=\int {\frac {N\,\mathrm {d} x}{{(x^{2}+px+q)}^{n}}}=\int {\frac {N\,\mathrm {d} x}{{[{(x-{\frac {p}{2}})}^{2}-({\frac {p^{2}}{4}}-q)]}^{n}}}=N\int {\frac {\,\mathrm {d} z}{{(z^{2}+a^{2})}^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55dc5a30ca87c2cea000ffe7e654771ac0b3a84b)
Řešíme-li poslední integrál metodou per partes, dostaneme rekurentní vztah
![{\displaystyle K_{n+1}={\frac {z}{2na^{2}{(z^{2}+a^{2})}^{n}}}+{\frac {2n-1}{2na^{2}}}K_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c56b4359c83aa013c097f869068d495d62fefe9)
pro
. Řešení integrálu
lze pak vyjádřit prostřednictvím integrálu
, což je však integrál typu
pro
.
U integrálů
, u nichž je
použijeme
. Čitatele lze pak vyjádřit ve tvaru
. Řešení má pak tvar
![{\displaystyle \int {\frac {Mx+N}{{(x^{2}+px+q)}^{n}}}\,\mathrm {d} x=\int {\frac {kf^{\prime }(x)+A}{{[f(x)]}^{n}}}\,\mathrm {d} x=k\int {\frac {f^{\prime }(x)}{{[f(x)]}^{n}}}\,\mathrm {d} x+A\int {\frac {\,\mathrm {d} x}{{[f(x)]}^{n}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f91c8fa3552351fb37430a074047bdca7c1d835)
,
kde
je integrál vyjádřený pomocí dříve uvedeného rekurentního vztahu.
Při integraci racionální funkci tedy nejdříve vyjádříme tuto funkci jako součet polynomu, který lze ihned integrovat, a racionální lomené funkce, kterou rozložíme na parciální zlomky. Poté integrujeme parciální zlomky, čímž získáme celé řešení integrálu původní racionální funkce.