Cramerovo pravidlo nebo metoda determinantů je matematický vzorec pro popis řešení soustavy lineárních rovnic s regulární maticí soustavy pomocí determinantů matice soustavy a matic z ní získaných nahrazením jednoho sloupce vektorem pravých stran. Je pojmenována po Gabrielu Cramerovi (1704–1752), který v roce 1750 publikoval pravidlo pro libovolný počet neznámých.[1]
Cramerovo pravidlo má především teoretický význam, protože výpočet mnoha determinantů obvyklým způsobem je výpočetně náročný. V praxi se proto pro řešení soustav používají jiné metody numerické matematiky.
Nechť čtvercová matice
řádu
je matici soustavy
lineárních rovnic o
neznámých (čili počet neznámých i rovnic je shodný). Nechť
je matice, získaná z matice
nahrazením
-tého sloupce sloupcem pravých stran.
Konkrétně, pro matici soustavy
a vektor pravých stran
má
tvar:
![{\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{i}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2,i-1}&b_{2}&a_{2,i+1}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a8ad5cda9dfab5c5aa583f74c814eb3f64983c3)
Pokud je matice soustavy
regulární, pak má soustava právě jedno řešení. Jednotlivé složky řešení
jsou určeny podíly [2]
.
Konkrétně, pro soustavu o dvou neznámých
![{\displaystyle {\begin{array}{rcrcr}a_{11}\,x_{1}&+&{a_{12}}\,x_{2}&=&\color {green}{b_{1}}\\{a_{21}}\,x_{1}&+&{a_{22}}\,x_{2}&=&\color {green}{b_{2}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/863b3d9b77a7085e6fc80d6a3cd7f66d6c859285)
s rozšířenou matici soustavy
![{\displaystyle ({\boldsymbol {A}}\,|\,{\color {green}{\boldsymbol {b}}})=\left({\begin{array}{cc|c}{a_{11}}&{a_{12}}&\color {green}{b_{1}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&\color {green}{b_{2}}\end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19267caa88d58b58dfcffe14ce1a4da5b0ced3b6)
je řešení dáno vzorci:
a
![{\displaystyle x_{2}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{2}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {\begin{vmatrix}{a_{11}}&\color {green}{b_{1}}\\{a_{21}}&\color {green}{b_{2}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}}={\frac {{a_{11}}{\color {green}{b_{2}}}-{\color {green}{b_{1}}}{a_{21}}}{{a_{11}}{a_{22}}-{a_{12}}{a_{21}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4865e75fe562b720b038daca798ea2d3bd9012)
Pravidlo platí nejen v oboru reálných či komplexních čísel, ale i pro soustavy lineárních rovnic s koeficienty a neznámými v libovolném tělese.
Reálná soustava lineárních rovnic:
![{\displaystyle {\begin{array}{rcrcr}{1}\,x_{1}&+&{2}\,x_{2}&=&\color {green}{3}\\{4}\,x_{1}&+&{5}\,x_{2}&=&\color {green}{6}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dda3a8bf724e1dca9fdcf9ee72f6ca7b80f0f3f)
dává rozšířenou matici soustavy:
![{\displaystyle ({\boldsymbol {A}}\,|\,{\color {green}{\boldsymbol {b}}})=\left({\begin{array}{cc|c}{1}&{2}&\color {green}{3}\\{4}&{5}&\color {green}{6}\end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10fd3b79e6bb72d317b97a14f511abea5ae1a36)
Podle Cramerova pravidla je řešení soustavy určeno podíly:
![{\displaystyle x_{1}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{1}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {\begin{vmatrix}\color {green}3&2\\\color {green}6&5\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2\\4&5\end{vmatrix}}}={\frac {{\color {green}3}\cdot {5}-{2}\cdot {\color {green}6}}{{1}\cdot {5}-{2}\cdot {4}}}={\frac {3}{-3}}=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3463ec072689e5ee5c5e773887392dbeced82395)
![{\displaystyle x_{2}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{2}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {\begin{vmatrix}{1}&\color {green}{3}\\{4}&\color {green}{6}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{1}&{2}\\{4}&{5}\end{vmatrix}}}={\frac {{1}\cdot {\color {green}{6}}-{\color {green}{3}}\cdot {4}}{{1}\cdot {5}-{2}\cdot {4}}}={\frac {-6}{-3}}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/126dfb8e70dd8ec41c59b26515c7c816cb47a6e6)
Pro soustavu lineárních rovnic:
![{\displaystyle {\begin{array}{rcrcrcr}x_{1}&+&2\,x_{2}&+&5\,x_{3}&=&\color {green}7\\2\,x_{1}&+&3\,x_{2}&&&=&\color {green}4\\3\,x_{1}&+&5\,x_{2}&+&3\,x_{3}&=&\color {green}9\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/089d34805e66e7e515f8483147aa0d096ec6cae8)
s rozšířenou maticí
![{\displaystyle ({\boldsymbol {A}}\,|\,{\color {green}{\boldsymbol {b}}})=\left({\begin{array}{ccc|c}1&2&5&\color {green}7\\2&3&0&\color {green}4\\3&5&3&\color {green}9\end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cc336d72b378a81f214687e475f68f12068bbab)
jsou složky řešení podle Cramerova pravidla dána podíly:
![{\displaystyle x_{1}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{1}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {\begin{vmatrix}\color {green}7&2&5\\\color {green}4&3&0\\\color {green}9&5&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&5\\2&3&0\\3&5&3\end{vmatrix}}}={\frac {{\color {green}7}\cdot {3}\cdot {3}+{2}\cdot {0}\cdot {\color {green}9}+{5}\cdot {\color {green}4}\cdot {5}-{\color {green}7}\cdot {0}\cdot {5}-{2}\cdot {\color {green}4}\cdot {3}-{5}\cdot {3}\cdot {\color {green}9}}{{1}\cdot {3}\cdot {3}+{2}\cdot {0}\cdot {3}+{5}\cdot {2}\cdot {5}-{1}\cdot {0}\cdot {5}-{2}\cdot {2}\cdot {3}-{5}\cdot {3}\cdot {3}}}={\frac {4}{2}}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d85a49856da72ebaf43af09896f64ef28309d7)
![{\displaystyle x_{2}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{2}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {\begin{vmatrix}1&\color {green}7&5\\2&\color {green}4&0\\3&\color {green}9&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&5\\2&3&0\\3&5&3\end{vmatrix}}}={\frac {{1}\cdot {\color {green}4}\cdot {3}+{\color {green}7}\cdot {0}\cdot {3}+{5}\cdot {2}\cdot {\color {green}9}-{1}\cdot {0}\cdot {\color {green}9}-{\color {green}7}\cdot {2}\cdot {3}-{5}\cdot {\color {green}4}\cdot {3}}{{1}\cdot {3}\cdot {3}+{2}\cdot {0}\cdot {3}+{5}\cdot {2}\cdot {5}-{1}\cdot {0}\cdot {5}-{2}\cdot {2}\cdot {3}-{5}\cdot {3}\cdot {3}}}={\frac {0}{2}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac7d84624c99b3eda4685a59deee4fb7aa8882ce)
![{\displaystyle x_{3}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{3}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {\begin{vmatrix}1&2&\color {green}7\\2&3&\color {green}4\\3&5&\color {green}9\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&5\\2&3&0\\3&5&3\end{vmatrix}}}={\frac {{1}\cdot {3}\cdot {\color {green}9}+{2}\cdot {\color {green}4}\cdot {3}+{\color {green}7}\cdot {2}\cdot {5}-{1}\cdot {\color {green}4}\cdot {5}-{2}\cdot {2}\cdot {\color {green}9}-{\color {green}7}\cdot {3}\cdot {3}}{{1}\cdot {3}\cdot {3}+{2}\cdot {0}\cdot {3}+{5}\cdot {2}\cdot {5}-{1}\cdot {0}\cdot {5}-{2}\cdot {2}\cdot {3}-{5}\cdot {3}\cdot {3}}}={\frac {2}{2}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90168cc9a58b51c6f23c0606deeb6b81f2586748)
Řešení soustavy splňuje vztah
,
neboli
, kde
značí
-tý sloupec matice
.
Pro matici
, sloupcový index
a libovolný vektor
značí symbol
matici, která vznikne z
nahrazením jejího
-tého sloupce vektorem
. Mimo jiné platí již dříve zavedená notace
.
Cramerovo pravidlo vyplývá ze dvou vlastností determinantu:
- Determinant je multilineární vzhledem ke sloupcům (i řádkům) matice, tj. lineární vůči každému jednotlivému sloupci (řádku) a
- je alternující vzhledem k pořadí sloupů (řádků), což má mimo jiné za následek, že determinant matice se dvěma shodnými sloupci (řádky) je nulový.
Z linearity determinantu vyplývá:
![{\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}_{i}=\det({\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {b}}])=\det {\biggl (}{\boldsymbol {A}}{\biggl [}{\boldsymbol {a}}_{i}{\bigg /}\sum _{j=1}^{n}x_{j}{\boldsymbol {a}}_{j}{\biggr ]}{\biggr )}=\det {\biggl (}\sum _{j=1}^{n}x_{j}{\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {a}}_{j}]{\biggr )}=\sum _{j=1}^{n}x_{j}\det({\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {a}}_{j}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c90ce2763d65aef5937c203942b1a8f484408ee)
V rozvinutém tvaru lze tento krok zapsat:
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,i-1}&\sum \limits _{j=1}^{n}x_{j}a_{1j}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,i-1}&\sum \limits _{j=1}^{n}x_{j}a_{nj}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6b2fa785e682df5810e831eb75b63f40dadb796)
![{\displaystyle =x_{1}{\begin{vmatrix}\color {green}a_{11}&\cdots &a_{1,i-1}&\color {green}a_{11}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\\color {green}\vdots &\ddots &\vdots &\color {green}\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\color {green}a_{n1}&\cdots &a_{n,i-1}&\color {green}a_{n1}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}+\dots x_{i-1}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &\color {green}a_{1,i-1}&\color {green}a_{1,i-1}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\color {green}\vdots &\color {green}\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &\color {green}a_{n,i-1}&\color {green}a_{n,i-1}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ea8a3f57f19e39f91306958c6a7425f076f9e0)
![{\displaystyle +x_{i}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,i-1}&a_{1i}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,i-1}&a_{ni}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a794fd508c37076b409bef87670cc3ffee3522)
![{\displaystyle +x_{i+1}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,i-1}&\color {green}a_{1,i+1}&\color {green}a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\color {green}\vdots &\color {green}\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,i-1}&\color {green}a_{n,i+1}&\color {green}a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}+\dots +x_{n}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,i-1}&\color {green}a_{1n}&a_{1,i+1}&\cdots &\color {green}a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\color {green}\vdots &\vdots &\ddots &\color {green}\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,i-1}&\color {green}a_{nn}&a_{n,i+1}&\cdots &\color {green}a_{nn}\\\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac074591da17dbf489b392360aa2b9eed1d64a9f)
Matice
je totožná s
, protože fakticky nedošlo k žádnému nahrazení. Pro každé
má matice
svůj
-tý sloupec shodný s
-tým (zvýrazněny zeleně) a její determinant je roven nule.
Po vyloučení nulových členů
pro
se výraz redukuje na:
![{\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}_{i}=\sum _{j=1}^{n}x_{j}\det({\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {a}}_{j}])=x_{i}\det {\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {a}}_{i}]=x_{i}\det {\boldsymbol {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acd8f61a837d03234835331cbdfcaa90635c3474)
Odtud Cramerovo pravidlo vyplývá vydělením obou stran nenulovým výrazem
.
Krátký důkaz Cramerova pravidla začíná pozorováním, že
je determinant matice
, která vznikne z jednotkové matice
nahrazením
-tého sloupce
vektorem řešení
. V notaci předchozího důkazu jde o matici:
![{\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{i}=\mathbf {I} [\mathbf {e} _{i}/{\boldsymbol {x}}]={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &x_{1}&\cdots &0\\0&1&\cdots &x_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots &&\vdots \\0&0&\cdots &x_{n}&\cdots &1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f08d9189923535028d14ded05cdfaa28a4bd4adf)
Za předpokladu, že původní matice
je regulární, lze sloupce matice
vyjádřit výrazy
, kde
je
-tý sloupec matice
. Připomeňme, že sloupce matice
jsou
, a proto
.
Zbývá využít fakt, že determinant součinu dvou matic je součinem determinantů, z čehož vyplývá:
![{\displaystyle x_{i}=\det {\boldsymbol {X}}_{i}=\det({\boldsymbol {A}}^{-1})\det {\boldsymbol {A}}_{i}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{i}}{\det {\boldsymbol {A}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b2fcc3a9f54d457b7692600241036361f67f66e)
Jestliže matici získanou vynecháním j-tého řádku a i-tého sloupce matice
označíme
, pak rozvinutím determinantu v čitateli podle i-tého sloupce získáme
Zlomek ve výrazu je prvkem
inverzní matice
.
Protože
a
, je
a tedy
Cramerovo pravidlo implementované naivním způsobem je výpočetně neefektivní již pro soustavy s více než třemi rovnicemi.[3] V případě
rovnic o
neznámých vyžaduje výpočet
determinantů, zatímco Gaussova eliminace dává výsledek se stejnou výpočetní složitostí jako výpočet jediného determinantu.[4][5] Cramerovo pravidlo může být také numericky nestabilní i pro soustavy o dvou rovnicích.[6] Nedávno se však ukázalo, že Cramerovo pravidlo lze implementovat se stejnou složitostí jako Gaussova eliminace [7][8] (vyžaduje dvakrát tolik aritmetických operací a má stejnou numerickou stabilitu, pokud jsou použity stejné permutační matice).
Cramerovo pravidlo lze použít k důkazu, že problém celočíselného programování, jehož matice omezení je totálně unimodulární a jehož pravá strana je celočíselná, má celočíselná bázická řešení, což výrazně usnadňuje řešení úlohy.
Cramerovo pravidlo se používá k odvození obecného řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice metodou variace konstant.
Cramerovo pravidlo se používá v Ricciho kalkulu v různých výpočtech zahrnujících Christoffelovy symboly prvního a druhého druhu.[9]
Cramerovo pravidlo lze zejména využít v důkazu, že operátor divergence na Riemannově varietě je invariantní vzhledem ke změně souřadnic.
Cramerovo pravidlo publikoval v roce 1750 Gabriel Cramer ve své knize Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques.[1] V něm explicitně uvedl vzorce pro lineární soustavy rovnic až se třemi rovnicemi a popsal, jak lze vytvořit vzorce řešení pro soustavy rovnic s více rovnicemi. Protože determinant ještě nebyl zaveden, použil zlomky s polynomem v čitateli a jmenovateli. Jak ukazuje následující úryvek z původní práce, jsou totožné s polynomy Leibnizova vzorce .
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Cramer%27s_rule_for_z.png/500px-Cramer%27s_rule_for_z.png)
Tento úryvek ukazuje, že Cramer ještě nepoužíval dnešní zápis soustav lineárních rovnic, protože v něm by vzorec zněl:
![{\displaystyle x_{1}={\frac {b_{1}a_{22}a_{33}-b_{1}a_{32}a_{23}-b_{2}a_{12}a_{33}+b_{2}a_{32}a_{13}+b_{3}a_{12}a_{23}-b_{3}a_{22}a_{13}}{a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/274b5c1db5372098a94fd7eb340ec3f866b75515)
Sám Cramer si byl vědom, že soustavy lineárních rovnic nemají vždy jednoznačné řešení.[10] Étienne Bézout pak v roce 1764 ukázal, pokud soustavu rovnic nelze jednoznačně vyřešit, je determinant matice soustavy (jmenovatel ve výše uvedeném výrazu) nulový.[10] Cramer svůj vzorec nijak nedokázal, to provedl až Augustin Louis Cauchy v roce 1815. Cauchy též zavedl dodnes používanou notaci pro zápis Cramerova pravidla.
Již v roce 1678 si Cramerovo pravidlo zapsal Gottfried Wilhelm Leibniz ve svém rukopise. Ten však byl objeven až později a neměl tak žádný vliv na vývoj metod řešení soustav lineárních rovnic.[10] Speciální případy Cramerova pravidla pro soustavy dvou nebo tří rovnic popsal Colin Maclaurin ve svém Pojednání o algebře, publikovaném v roce 1748. Přestože měl nápad rozšířit tyto vzorce i na soustavy rovnic s více rovnicemi, nenašel na rozdíl od Cramera žádné pravidlo, jak správně nastavit znaménka v použitých polynomech.[11] Carl Benjamin Boyer vyvolal ve 20. století spor mezi matematickými historiky, zda byl objevitelem vzorce Maclaurin nebo Cramer. Doporučil, aby pravidlo bylo přejmenováno na Maclaurinovo-Cramerovo.[12]
V tomto článku byly použity překlady textů z článků Cramersche Regel na německé Wikipedii a Cramer's rule na anglické Wikipedii.
- ↑ a b Gabriel Cramer: Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques. Genf 1750, S. 657–659.
- ↑ Cramerovo pravidlo — Matematika polopatě. www.matweb.cz [online]. [cit. 2021-08-16]. Dostupné online.
- ↑ David Poole. Linear Algebra: A Modern Introduction. [s.l.]: Cengage Learning, 2014. ISBN 978-1-285-98283-0. S. 276. Je zde použita šablona
{{Cite book}}
označená jako k „pouze dočasnému použití“.
- ↑ Joe D. Hoffman; STEVEN FRANKEL. Numerical Methods for Engineers and Scientists, Second Edition. [s.l.]: CRC Press, 2001. ISBN 978-0-8247-0443-8. S. 30. Je zde použita šablona
{{Cite book}}
označená jako k „pouze dočasnému použití“.
- ↑ Thomas S. Shores. Applied Linear Algebra and Matrix Analysis. [s.l.]: Springer Science & Business Media, 2007. ISBN 978-0-387-48947-6. S. 132. Je zde použita šablona
{{Cite book}}
označená jako k „pouze dočasnému použití“.
- ↑ Nicholas J. Higham. Accuracy and Stability of Numerical Algorithms: Second Edition. [s.l.]: SIAM, 2002. ISBN 978-0-89871-521-7. S. 13. Je zde použita šablona
{{Cite book}}
označená jako k „pouze dočasnému použití“.
- ↑ Ken Habgood; ITAMAR AREL. A condensation-based application of Cramerʼs rule for solving large-scale linear systems. Journal of Discrete Algorithms. 2012, s. 98–109. Dostupné online. DOI 10.1016/j.jda.2011.06.007. Je zde použita šablona
{{Cite journal}}
označená jako k „pouze dočasnému použití“.
- ↑ G.I.Malaschonok. Solution of a System of Linear Equations in an Integral Ring. USSR J. Of Comput. Math. And Math. Phys.. 1983, s. 1497–1500. arXiv 1711.09452. Je zde použita šablona
{{Cite journal}}
označená jako k „pouze dočasnému použití“.
- ↑ LEVI-CIVITA, Tullio. The Absolute Differential Calculus (Calculus of Tensors). [s.l.]: Dover, 1926. ISBN 9780486634012. S. 111–112. Je zde použita šablona
{{Cite book}}
označená jako k „pouze dočasnému použití“.
- ↑ a b c Jean-Luc Chabert et al.: A History of Algorithms. From the Pebble to the Microchip. Springer-Verlag, 1999, ISBN 3-540-63369-3, S. 284–287 (Tato kniha obsahuje anglický překlad Cramerovy původní publikace.).
- ↑ Antoni A. Kosinski: Cramer's Rule Is Due to cramer. In: Mathematics Magazine. Bd. 74, Nr. 4, Oktober 2001, S. 310–312.
- ↑ Bruce A. Hedman: An Earlier Date for „Cramer’s Rule“ In: Historica Mathematica. Bd. 24, 1999, S. 365–368.
- BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198.
- BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1.
- HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5.
- OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.
- MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.