Zjemnění rozkladu

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Zjemnění rozkladu je matematický pojem z oboru teorie množin, který umožňuje uspořádání množiny všech rozkladů určité pevně dané množiny.

Definice

Předpokládejme, že jsou a dva rozklady množiny (množina podmnožin množiny je rozklad, pokud její sjednocení je rovno a každé dva její prvky jsou disjunktní množiny).

Řekneme, že rozklad je zjemněním rozkladu , pokud vznikl z rozdělením některých jeho množin na podmnožiny. Přesněji zapsáno

Tuto skutečnost zapisujeme symbolem .

Příklady

Uvažujme o rozkladech množiny všech přirozených čísel.

  • Rozklad na všechny jednoprvkové podmnožiny je nejjemnější rozklad množiny – pro každý jiný rozklad platí
    .
  • Rozklad množiny na jednu jedinou množinu obsahující všechny prvky , značenou , je nejhrubší rozklad množiny – pro každý jiný rozklad platí
    .
  • Je-li rozklad na zbytkové třídy po dělení číslem n (tj. například ), pak platí, že , právě když b dělí a. Například nebo .

Zjemnění jako uspořádání

Dá se poměrně snadno ověřit, že relace je neostré uspořádání množiny všech možných rozkladů množiny . Určitě se ale nejedná o lineární uspořádání – pokud se vrátíme k předchozímu příkladu, tak neplatí ani , ani .

Příklad množiny všech rozkladů

Uvažujme o tříprvkové množině . Tato množina má celkem pět rozkladů , kde

Je vidět, že

  • nelze porovnat

Vztah rozkladů a ekvivalencí

Jak je uvedeno v článku Ekvivalence (matematika), odpovídá každý rozklad na množině vzájemně jednoznačně nějaké ekvivalenci na množině .

Je-li rozklad a jemu odpovídající ekvivalence, potom R je shodný s množinou tříd ekvivalence a naopak – lze definovat pomocí rozkladu takto:

Lidsky: dva prvky jsou ekvivalentní, pokud náleží do stejné množiny v rozkladu

Označme množinu všech možných ekvivalencí na množině .

Dá se ukázat, že relace (tj. "být podmnožinou) se chová na množině úplně stejně, jako relace na množině , jinými slovy:
Množina při uspořádání je izomorfní s množinou při uspořádání .

Příklad množiny všech ekvivalencí

Vraťme se k tříprvkové množině a spočítejme všechny ekvivalence, které na ní lze vytvořit. Žádný div, že jich je zase pět:

Není ani příliš překvapivé, že mezi těmito ekvivalencemi platí stejné vztahy, jako mezi rozklady – tak už to u izomorfních struktur chodí:

  • nelze porovnat

Množina všech rozkladů jako úplný svaz

Na závěr ještě podotkněme, že množina všech rozkladů s uspořádáním pomocí zjemnění tvoří algebraickou strukturu nazývanou úplný svaz – lze na ní tedy zavést operace součtu a součinu a s rozklady počítat podobně, jako by to byla čísla.

Podívajte se také na