Wikipedista:Ids hromadka/Vícedimenzní šachy

Vymyslel jsem způsob, jak hrát šachy na vícedimenzní šachovnici. Protože jde o můj "vlastní výzkum", nemohu ho uveřejnit v hlavním jmenném prostoru Wikipedie (viz. doporučení Wikipedie:Žádný vlastní výzkum). Tak ho předkládám zde na podstránce mé uživatelské stránky, kde je pevně spojen s mou osobou.

Soustava souřadnic

Aby bylo možno hrát šachy, musí existovat způsob, kterým můžeme pojmenovat každé pole na šachovnici. Obvyklé šachové notace jsou použitelné jen při dvoudimenzní šachové hře. Pro třídimenzní šachovou hru je třeba je rozšířit. Algebraickou šachovou notaci rozšíříme na více dimenzí tím, že na místo jednoho čísla zapíšeme všechny nex-ové souřadnice v jejich pořadí. Např. tah e44 je v zahájení tahem pěšcem z pozice e22 na pozici e44. Pro lepší pochopení matematických rovnic je však lepší rozšířená numerická notace ICCF. Ta označuje i x-ovou souřadnici číslem a tahy se zapisují jako souřadnice výchozího pole a souřadnice cílového pole - uvedený tah se zapíše 522544. Jde tedy o tah z výchozího pole 522 na pole 544, notace neříká, že jde o tah pěšcem. Stejný zápis by se mohl později objevit pro tah dámou nebo věží.

Proto zavedeme obecně kartézskou soustavu souřadnic tak, že pole vlevo vpředu dole (z pohledu bílého) bude společným bodem všech os (počátkem soustavy souřadnic) a bude mít všechny souřadnice rovny 1. Z tohoto společného počátku vedeme:

• osu x zleva doprava - tato osa má speciální význam kvůli pěšcům,
• osu y zepředu dozadu (od bílého k černému),
• a případné další osy kolmo k nim ve společném bodě (zpravidla osu z nahoru)

a na všech osách volíme jako jednotku 1 pole jen jedním směrem tak, že osa končí dosažením čísla 8.

Souřadnici každého bodu zapíšeme tak, že za sebe zapíšeme tolik číslic, kolik dimenzí má šachovnice (např. výchozí pozice bílého krále bude ve dvou dimenzích 51 (e1), ve třech dimenzích 511 (e11) atd.

Tahy figur

Možné tahy figur jsou dány soustavami rovnic pro jednotlivé souřadnice. Tyto rovnice mají tvar a₀ + a_t = a, kde a je písmenné označení osy, pro kterou je daná rovnice určena (x, y, z, ...), a₀ je počáteční souřadnice figury, a_t je hodnota vhodná v dané rovnici pro danou figuru a a je výsledná souřadnice. Samozřejmě není platný tah, kde by ve všech rovnicích a_t = 0, kde by kdekoliv a < 1 nebo a > 8 nebo který by byl v rozporu s ostatními pravidly šachů.

Uskutečněné tahy zapíšeme nějakou šachovou notací, soustavy rovnic slouží jen k výpočtům potřebným k tomu, abychom určili, zda je daný tah danou figurou možný.

Král

Král může na libovolné sousední pole (samozřejmě za běžných šachových podmínek - pole musí existovat, nesmí být obsazeno vlastní figurou, král se nesmí na něm ocitnout v šachu atd.). Proto v každé rovnici tahu krále může mít člen a_t hodnotu -1, 0 nebo 1.

x0 + 1 = x
y0 - 1 = y
z0 + 0 = z

V tomto případě uvedené hodnoty odpovídají tahu šikmo vpravo zpět (z pohledu bílého) jako je ve dvoudimenzních šachách např. tah Ke41-f31. Tento tah by se v numerické notaci ICCF napsal 541631, tedy tah z pole 541 na pole 631. Všimněte si, že první souřadnice (x-ová) se o 1 zvýšila (+1), druhá (y-ová) se o 1 snížila (-1) a třetí (z-ová) zůstala stejná. Uvedená soustava rovnic odpovídá také mnoha dalším tahům v třídimenzní šachové hře, protože nejsou uvedeny souřadnice výchozího pole x₀, y₀ a z₀.

Rošáda

Rošáda je zobecněna tak, že: krátké rošádě bílého odpovídá tato soustava rovnic:

5 + 2 = 7 (pro souřadnici x - pro krále)
8 - 2 = 6 (pro souřadnici x - pro věž)
1 + 0 = 1 (pro všechny ostatní souřadnice - pro krále i pro věž)

dlouhé rošádě bílého odpovídá soustava rovnic:

5 - 2 = 3 (pro souřadnici x - pro krále)
1 + 3 = 4 (pro souřadnici x - pro věž)
1 + 0 = 1 (pro všechny ostatní souřadnice - pro krále i pro věž).

Krátká a dlouhá rošáda černého se liší jen společnou rovnicí 1 + 0 = 1, která má u černého tvar 8 + 0 = 8. Pro rošádu platí následující podmínky:

1. králem nebylo ještě táhnuto
2. s příslušnou věží nebylo ještě táhnuto
3. na polích mezi králem a věží nestojí žádná jiná figura
4. pole, na kterém bude po rošádě věž, musí být před rošádou způsobilé k tomu, aby na něj vstoupil král, tzn. musí být v souladu s pravidly možný tah x = x + 1 při krátké a x = x - 1 při dlouhé rošádě
5. král před provedením a po provedení rošády nestojí v pozici šach.

V algebraické šachové notaci zapíšeme rošády jako obvykle O-O a O-O-O. V rozšířené numerické notaci ICCF jako tah králem 511711, resp. 511311. Nesmíme však zapomenout na přesun věže.

Dáma

Dáma se může pohybovat všemi diagonálními směry (jako střelec) i po směru každé osy (jako věž). Proto se v každé rovnici může a₀ rovnat -k, 0 nebo +k, kde k je parametr, za který se dosazují pro celou soustavu rovnic postupně přirozená čísla od 1 až do dosažení požadované hodnoty. Chceme-li do soustavy rovnic zapsat tah Da11-c33 (111333), dosáhneme toho takto:

1 + k = x (3)
1 + k = y (3)
1 + k = z (3)
k = {1, 2}

Dosazení jedničky za k je v tomto případě nezbytné pro ověření, zda na poli, přes které dáma přechází, nestojí nějaká figura. Kdyby tam stála, nebyl by takový tah možný, protože dáma by tuto figuru nesměla přeskočit. Již zde je vidět, že dlouhé tahy dalekonosnými figurami jsou výpočetně náročné, protože musíme ověřovat, zda některé pole požadované dráhy není obsazeno.

Další důležitá věc, kterou je nutno si uvědomit, je, že hodnota parametru k musí být pro všechny rovnice stejná. To omezuje počet polí, která jsou dámou ohrožena.

Věž

Věž se smí pohybovat jen po směru nebo proti směru jedné z os soustavy souřadnic. Z toho vyplývá její soustava rovnic - právě jedna rovnice má a_t = ± k, ostatní mají a_t = 0. Tedy např. tah Va1-a8 zapíšeme soustavou rovnic pro dvoudimenzní šachy takto:

1 + 0 = 1 (x)
1 + k = y (y = 8)
k = {1, ..., 7}

Jezdec

Jezdec má tah definován ze všech figur nejzvláštněji - smí skočit jen na nejbližší z polí, která neleží ani na horizontálách (resp. vertikálách) ani na diagonálách. Pomocí Pythagorovy věty lze pak odvodit tvar jejich soustavy rovnic: právě jedna rovnice má a_t = ± 1 a právě jedna jiná má a_t = ± 2. Na místě symbolu ± může být libovolně + nebo -. Např. obvyklý tah v zahájení Jg1-f3 (7163) zapíšeme do soustavy rovnic takto:

7 + 1 = 6 (x)
1 - 2 = 3 (y)

Vzhledem k tomu, že jezdec smí „přeskakovat figury“, nemusí zde probíhat podrobnější kontrola obsazených polí. Zatímco s ostatními figurami můžete hrát ve třídimenzním šachu na diagonální „subšachovnici“ (a11-h11)-(a88-h88), s jezdcem to nejde, protože by se přitom pohyboval po diagonále, což nedovoluje definice jeho tahu, a při tahu x = x + 1; y = y + 2; z = z + 2 by vzdálenost cílového bodu byla větší než při obyčejném tahu. Proto není takový tah dovolen.

Při každém svém tahu jezdec mění barvu pole, na němž stojí. To platí v libovolném počtu dimenzí.

Střelec

Střelec se smí pohybovat po diagonálách. Jeho soustava rovnic vychází ze soustavy rovnic pro dámu, až na to, že střelec musí mít v alespoň dvou rovnicích a_t = ± k. Ostatní rovnice mohou mít a_t = ± k, nebo a_t = 0. Z toho, že ve dvou dimenzích musí mít právě 2 rovnice s ±k, zatímco ve třech dimenzích může mít 2 nebo 3 takové rovnice, ve čtyřech dimenzích 2, 3 nebo 4 atd., vyplývá strmý nárůst pohyblivosti střelce ve více dimenzích např. ve srovnání s věží.

Pro příklad uvedeme tah střelcem Sf11-c41 (611341):

6 - k = x (3)
1 + k = y (4)
1 + 0 = 1 (z)
k = {1, 2, 3}

Z této definice vyplývá další problém - ve více než dvou dimenzích se může střelec přesunout na pole jiné barvy, což učiní např. při tahu x₀ + 1 = x; y₀ + 1 = y; z₀ + 1 = z, kde se součet souřadnic zvýší o 3 (liché číslo) a součet sudého čísla s lichým je lichý, zatímco součet dvou lichých čísel je sudý. Přitom se však pohybuje stále po diagonálách. Problém je v tom, že na úhlopříčce krychle se barvy polí střídají. V důsledku toho při lichém počtu dimenzí může střelec dvěma tahy dosáhnout sousedního pole v řadě.

Pěšec

Pěšec to má nejsložitější - musí mít totiž samostatnou varitantu pro „obyčejný tah“, který smí učinit jen „dopředu“ a braní, které uskutečňuje jen šikmo. Z výchozího postavení navíc může postoupit i o dvě pole.

Obyčejný tah pěšcem (bez braní)

Proto vypadá obyčejný tah pěšcem takto: rovnice pro souřadnici x má vždy x_t = 0, tzn. pěšec nemění při normálním tahu svoji x-ovou souřadnici. Ostatní rovnice mohou mít a_t = 0 nebo ± k, kde za ± bílý dosadí + a černý - a k je parametr, za který se vždy dosazuje 1 a při tahu z výchozí pozice za něj lze dosadit i 2. Např. obvyklý tah královského gambitu e2-e4 (5254) lze vyjádřit následující soustavou rovnic:

5 + 0 = 5 (x)
2 + k = y (4)
k = {1, 2}

Příklad soustavy rovnic pro tah pěšcem ve čtyřdimenzní šachové hře:

5 + 0 = 5 (x)
2 + k = y (4)
2 + 0 = 2 (z)
2 + k = a (4)
k = {1, 2}

Braní pěšcem

Braní pěšcem je obdobné tahu pěšcem s tím, že za k lze dosadit vždy jen 1 (i ve výchozím postavení), cílové pole musí být obsazeno soupeřovou figurou (kromě braní mimochodem) a x_t = ± 1, kde + nebo - se zvolí libovolně. Jako příklad uvedeme soustavu rovnic odpovídající tahu e2xd3 (5243):

5 - 1 = 4
2 + k = y (3)
k = 1

Braní mimochodem

Braní mimochodem je definováno ve vícedimenzní šachové hře velmi obecně: táhne-li jeden hráč s pěšcem tak, že za k v jeho rovnici dosadí i 2, může soupeř jako bezprostřední odpověď táhnout svým pěšcem tak, že vezme tohoto pěšce při pohybu na pozici, na které by se hráčův pěšec ocitl po dosazení k = 1. Braný pěšec pak pochopitelně musí být odstraněn ze šachovnice.

Proměna pěšce

Bílý pěšec se promění na dámu, věž, jezdce nebo střelce, když alespoň jedna jeho nex-ová souřadnice dosáhne 8. Černý pěšec se takto promění, když alespoň jedna jeho nex-ová souřadnice dosáhne 1.

Numerická notace ICCF při proměně pěšce připojuje k obvyklé sekvenci číslic ještě kód figury, v níž se pěšec proměnil: dáma = 1, věž = 2, střelec = 3, jezdec = 4, algebraická notace písmeno (v česky mluvících zemích dáma = D, věž = V, střelec = S, jezdec = J). Jako příklad uvedeme tah bílého e71-e81D (5715811).

Na vícedimenzní šachovnici je poměrně obtížné zabránit soupeřovým pěšcům dosáhnout proměny, protože s narůstajícím počtem dimenzí intenzivně stoupá pohyblivost pěšců a ti jsou schopni se většině překážek vyhnout.

Výchozí postavení figur

Bílé figury (kromě pěšců) mají všechny souřadnice (kromě x-ové) rovny 1, černé 8. X-ová souřadnice figur odpovídá x-ové souřadnici v dvoudimenzním šachu: 1 věž, 2 jezdec, 3 střelec, 4 dáma, 5 král, 6 střelec, 7 jezdec, 8 věž.

Horší je to s pěšci. Obecná definice říká, že bílý pěšec stojí ve výchozí pozici na každém poli, která má všechny nex-ové souřadnice rovny 1 nebo 2, kromě polí, které mají všechny souřadnice rovny jedné. Černý pěšec obdobně na každém poli s nex-ovými souřadnicemi 7 nebo 8 kromě té, která má všechny souřadnice rovny 8 (tam stojí ostatní figury). Z toho vyplývá, že ve třídimenzním šachu jsou tři řady pěšců (na rovině a odpovídají definici pro bílého pole a12, a21 a a22).

Otázky a odpovědi

Kolik polí má n-dimenzní šachovnice?

Obecně platí, že n-dimenzní šachovnice má 8ⁿ polí - dvoudimenzní 64, třídimenzní 512, čtyřdimenzní 4096 atd.

Jakou barvu má určité pole?

Barvu pole zjistíte tak, že sečtete všechny souřadnice a odečtete od výsledku jejich počet (nebo od každé souřadnice odečtete 1 a výsledek sečtete). Je-li výsledek sudý, je pole černé, je-li lichý, je pole bílé.

Zde je nutno dát si pozor, že ve výchozím postavení pro lichý počet dimenzí stojí černá dáma na špatně barevném poli (její výchozí pozice je 488 a (4 + 8 + 8 - 3 = 17) - lichý výsledek, pole je bílé.

Kolika směry může táhnout dáma?

K zodpovězení této otázky je nutná znalost kombinatoriky. Zde stačí uvést výsledný vzorec: je-li n počet dimenzí, pak dáma může táhnout 3ⁿ - 1 směry - tedy ve dvou dimenzích 8, ve třech 26, ve čtyřech 80 atd. K zodpovězení stejné otázky pro střelce a věž stačí vědět, že věž může táhnout 2n směry a střelec (3ⁿ - 2n - 1) směry.

Kolik řad pěšců má jeden hráč na n-dimenzní šachovnici?

Opět je potřeba znalost kombinatoriky - je to 2^{n - 1} - 1. Počet pěšců je tedy 2^{n + 2} - 8. Ve dvoudimenzních šachách má každý 8 pěšců, ve třídimenzních 24, ve čtyřdimenzních 56, v pětidimenzních 120 atd.

Kolik má n-dimenzní šachovnice centrálních polí a která to jsou?

Centrální pole mají všechny souřadnice rovny 4 nebo 5 a je jich 2ⁿ, tj. 2D = 4, 3D = 8, 4D = 16, ...

Na kolik polí může maximálně v n-dimenzní šachové hře táhnout jezdec?

Na 4•n•(n - 1), čili v 2D 8, v 3D 24, v 4D 48, v 5D 80 atd.

Obvyklé problémy

Vícedimenzní šachová hra naráží při své realizaci na určité problémy:

• prostor, v němž žijeme, má jen tři dimenze,
• postavíme-li osm šachovnic nad sebou, je tu problém, jak pohybovat s figurami.

Jak si představit vícedimenzní šachovnici

Třídimenzní šachovnici si lze představit celkem jednoduše - představte si normální šachovnici jako čtverec rozdělený na 8×8 podčtverců. Pak vám nebude dělat problémy si představit krychli rozdělenou na 8×8×8 podkrychlí. Čtyřdimenzní šachovnici si pak můžete zkusit představit jako teserakt rozdělený na 8×8×8×8 podteseraktů. Vícedimenzní šachovnice jsou pak dány hyperkrychlemi o n rozměrech a 8ⁿ jejich podhyperkrychlemi.

Jako raritu lze uvést parametry šestisetrozměrné šachovnice:

Počet polí: přibližně 7,1448•10⁵⁴¹

Počet centrálních polí: 1200

Kolika směry se může pohybovat dáma: přibližně 1,8739•10²⁸⁶

Počet řad pěšců: 2,0748•10¹⁸⁰ (pěšců je pak osmkrát tolik)

Kolika směry se může pohybovat věž: 600

Na kolik polí může z centra táhnout jezdec: 1 437 600

Nejkratší možná partie v 3D šachu zakončená matem

Rozšířená algebraická notace:

1. e44  f86
2. Dh55 g85?
3. Dh85#

Rozšířená numerická notace ICCF:

1. 522544   687686
2. 411855   787785?
3. 855885   mat.

Názorná notace se souřadnicemi [x;y;z]:

1. pěšec[5;2;2] -> [5;4;4]  pěšec[6;8;7] -> [6;8;6]
2. dáma [4;1;1] -> [8;5;5]  pěšec[7;8;7] -> [7;8;5]
3. dáma [8;5;5] -> [8;8;5] = šach mat na krále[5;8;8]

Alternativní varianta

Vzhledem k tomu, že nezvýšení množství figur při zvyšování počtu dimenzí figury značně oslabuje a mat je jen velmi obtížně uskutečnitelný, protože např. v třídimenzních šachách může král ustoupit ze šachu jezdcem až na 26 polí, je možná i druhá varianta, která se liší v následujících drobnostech:

• Výchozí postavení figur (kromě krále a dámy) nezávisí na souřadnicích kromě souřadnic x a y. V důsledku toho se postavení střelců, jezdců a věží opakuje. Pěšci jsou na všech polích, která mají y-ovou souřadnici rovnu 2 (pro černého 7).
• K proměně pěšce dojde jen tehdy, když pěšcova y-ová souřadnice dosáhne 8 (pro černého 1).
• Pěšec může táhnout následujícím způsobem:
  • Při normálním tahu je nemění jeho x-ová souřadnice, y-ová souřadnice se zvyšuje o 1 (pro černého se snižuje o 1) a ostatní souřadnice se v rámci tahu mohou snížit o 1, zvýšit o 1 nebo zůstat stejné.
  • Při postupu z výchozího pole se může posunout jedním směrem o dvě pole.
  • Při braní se posunuje tak, jako když normálně táhne, ale jeho x-ová souřadnice se musí navíc snížit nebo zvýšit o 1.
  • U braní mimochodem je nutno zdůraznit jeho obecnou definici.

V důsledku toho, že král a dáma jsou u každého hráče na šachovnici jen jednou, nejsou pěšci c2 a f2 kromě několika nejbližších ve výchozím postavení chráněni.

Hráči mají po (2•8^n-2) věžích, jezdcích a střelcích a (8^n-1) pěšcích, ale jen po jednom králi a jedné dámě. Bojovat tedy budou zřejmě především lehké figury a pěšci.

Tato varianta má ale i svoji nevýhodu - je velmi nákladná na figury. Pro třídimenzní hru potřebujete de facto 8 kompletních šachových sad (kromě králů, král stačí jeden pro každého hráče). Se zvyšováním počtu dimenzí se tedy zvyšuje i nákladnost.