Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence je v matematice kritérium pro určování, zda nekonečná řada funkcí konverguje stejnoměrně a absolutně. Používá se na řady, jejichž členy jsou funkce s reálnými nebo komplexními hodnotami, a je analogií srovnávacího kritéria pro určování konvergence řad reálných nebo komplexních čísel.

Tvrzení[editovat | editovat zdroj]

Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence. Předpokládejme, že {fn} je posloupnost reálných nebo komplexních funkcí definovaných na množině A a že existuje posloupnost kladných čísel {Mn} taková, že

Pak řada

konverguje absolutně a stejnoměrně na A.

Poznámka: Výsledek se často používá v kombinaci s limitní větou pro stejnoměrnou konvergenci. Společně říkají, že pokud kromě výše uvedených podmínek je množina A topologickým prostorem a funkce fn jsou spojité na A, pak řada konverguje ke spojité funkci.

Zobecnění[editovat | editovat zdroj]

Obecnější verze Weierstrassova kritéria stejnoměrné konvergence platí, jestliže cílová množina funkcí {fn} je jakýkoli Banachův prostor, v tomto případě výraz

může být nahrazen výrazem

,

kde je norma na Banachově prostoru. Pro příklad použití tohoto kritéria na Banachův prostor viz článek Fréchetova derivace.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme posloupnost funkcí

Protože řada konverguje a Mn ≥ 0 pro každé n, pak podle Cauchyova kritéria konvergence

Pro zvolené N platí

Tedy posloupnost částečných součtů řady konverguje stejnoměrně. Z definice proto řada konverguje stejnoměrně.

Pozn: Nerovnost (1) vyplývá z trojúhelníkové nerovnosti.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Weierstrass M-test na anglické Wikipedii.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • RUDIN, Walter. Functional Analysis. [s.l.]: McGraw-Hill Science/Engineering/Math, leden 1991. Dostupné online. ISBN 0-07-054236-8. 
  • RUDIN, Walter. Real and Complex Analysis. [s.l.]: McGraw-Hill Science/Engineering/Math, květen 1986. ISBN 0-07-054234-1. 
  • RUDIN, Walter. Principles of Mathematical Analysis. [s.l.]: McGraw-Hill Science/Engineering/Math, 1976. Dostupné online. 
  • WHITTAKER; WATSON. A Course in Modern Analysis. 4. vyd. [s.l.]: Cambridge University Press, 1927. S. 49.