Von Mangoldtova funkce

Von Mangoldtova funkce je aritmetická funkce pojmenovaná po německém matematikovi Hansi von Mangoldtovi. Jedná se o významnou funkci v teorii čísel, která není multiplikativní, ani aditivní.

Definice

Von Mangoldtova funkce je aritmetická funkce $\Lambda \colon \mathbb {N} \to \mathbb {R}$, definovaná předpisem

$\Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{pokud }}n=p^{k}{\text{ pro nějaké prvočíslo }}p{\text{ a }}k\in \mathbb {N} ,\\0&{\text{v opačném případě}}.\end{cases}}$

Zde $\log$ označuje přirozený logaritmus, tj. logaritmus o základu $e$.

Funkce $\Lambda (n)$ tedy nabývá nenulových hodnot právě na přirozených číslech, která jsou mocninami prvočísel. V těchto případech je hodnota rovna logaritmu příslušného prvočísla.

Prvních 10 hodnot funkce $\Lambda (n)$:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$\Lambda (n)$	$0$	$\log 2$	$\log 3$	$\log 2$	$\log 5$	$0$	$\log 7$	$\log 2$	$\log 3$	$0$

Vlastnosti

Von Mangoldtova funkce není ani multiplikativní, ani aditivní.

Budiž příkladem ne-multiplikativnosti:

$\Lambda (4)=\log 2\neq (\log 2)^{2}=\Lambda (2)\cdot \Lambda (2).$

A příkladem ne-aditivnosti:

$\Lambda (6)=0\neq \log 2+\log 3=\Lambda (2)+\Lambda (3).$

Součet hodnot přes dělitele:

Pro každé přirozené číslo $n\in \mathbb {N}$ platí následující rovnost:

$\sum _{d\mid n}\Lambda (d)=\log n.$

Tento vztah vyjadřuje, že součet hodnot Von Mangoldtovy funkce přes všechny dělitele čísla $n$ odpovídá přirozenému logaritmu $n$.

Vyjádření pomocí Möbiovy funkce:

Von Mangoldtova funkce $\Lambda$ má také vyjádření pomocí Möbiovy funkce $\mu$, která je klíčová v teorii aritmetických funkcí:

$\Lambda (n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\log d,$

kde $\mu$ označuje Möbiovu funkci. Tento vzorec je inverzí předchozí rovnosti pomocí Möbiovy inverzní formule.

Související články

• Möbiovy funkce
• Prvočíselná funkce