Tenzor energie a hybnosti

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Tenzor energie a hybnosti je kvantitativní tenzor ve fyzice, který popisuje hustotu a tok energie a hybnosti v prostoročasu. Zevšeobecňuje tenzor napětí z newtonovské fyziky. Je to atribut hmoty, záření a negravitačních silových polí. Tenzor energie a hybnosti je zdrojem gravitačního pole v Einsteinových rovnicích obecné teorie relativity, podobně jako je hustota hmoty zdroje tohoto pole v newtonovské gravitaci.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Tenzor energie a hybnosti zahrnuje použití proměnných v horním indexu. Jsou-li použity kartézské souřadnice v jednotkách SI, pak jsou složky polohy čtyřvektoru dány: x0 = t, x1 = x, x2 = y, and x3 = z, kde t je čas v sekundách, a x, y, a z jsou vzdálenosti v metrech.

Tenzor energie a hybnosti je definován jako tenzor Tαβ druhého řádu, který udává αth složky vektoru hybnosti povrchu s konstatními xβ souřadnicemi. V teorii obecné relativity je tento vektor brán jako čtyřhybnost. V obecné relativitě je tenzor energie a hybnosti symetrický,[1]

V některých alternativních teoriích jako jsou Einsteinova-Cartanova teorie, nemusí být tenzor energie a hybnosti dokonale symetrický z důvodu nenulového spinového tenzoru, který geometricky odpovídá na nenulový torzní tenzor.

Identifikace částí tenzoru[editovat | editovat zdroj]

Vzhledem k tomu, že tenzor energie a hybnosti je tenzorem druhého řádu, jeho složky mohou být zobrazeny v podobě 4x4 matice:

V následujícím, i a k rozmezí od 1 do 3.

Složka čas-čas je hustotou relativistické hmotnosti, to je hustota energie dělená rychlostí světla na druhou. [2] To má zvláštní význam, protože to má jednoduchou fyzikální interpretaci. V případě dokonalé tekutiny je tato složka:

a elektromagnetické pole v jinak prázdném prostoru je:

kde E a B jsou elektrické a magnetické pole. [3]

Tok relativistické hmotnosti přes xi povrch je ekvivalentem hustotě ith složky hybnosti:

Složky

reprezentují tok ith složky hybnosti přes xk povrch. Zejména

představují normálové napětí, které se nazývá tlakem, je-li nezávislé na směru. Zbývající složky

představují smykové napětí.

Ve fyzice pevných látek a mechanice tekutin, je tenzor hybnosti definován jako prostorová složka tenoru energie a hybnosti ve správném referenčním rámci.

Kovariantní a smíšené formy[editovat | editovat zdroj]

Většina článku pracuje s kontravariantní formou Tμν tenzoru energie a hybnosti. Nicméně často je nutné pracovat i s kovariantní formou

nebo smíšenou formou

nebo smíšeným tenzorem hustoty

Článek používá prostorupodobnou konvenci značení (−+++) pro metrický zápis.

Zákony zachování[editovat | editovat zdroj]

Speciální relativita[editovat | editovat zdroj]

Tenzor energie a hybnosti je konzervovaný proud Noetherové spojený s prostoročasovými translacemi.

Divergence negravitační hybnosti-energie je nulová. Jinými slovy, negravitační energie a hybnost jsou zachovány

Při zanedbatelné gravitaci a použití kartézských souřadnic pro prostoročas, mohou být vyjádřeny jako parciální diferenciální rovnice

Integrální forma tohoto je

kde N je jakákoli kompaktní čtyřrozměrná prostoročasová oblast, je její hranice, trojrozměrný hyperpovrch, a je prvek hranice považovaný za vnější normální ukazatel.

V plochém prostoročasu s Kartézskými souřadnicemi, lze ukázat, že pokud se toto zkombinuje se symetrií tenzoru energie a hybnosti, moment hybnosti se také zachovává:

Obecná relativita[editovat | editovat zdroj]

Pokud není gravitace zanedbatelná nebo při použití libovolný souřadnicových systémů, divergence hybnosti-energie stále mizí. Ale v tomto případě zahrnuje volná definice souřadnic divergence použití kovariantní derivace.

kde je Christoffelův symbol, který reprezentuje gravitační silové pole.

V důsledku toho, je-li jakékoli Killingovo vektorové pole, pak může být zákon zachování spojený se symetrií generovanou Killingovým vektorovým polem vyjádřen jako

Integrální forma toho je

Obecná relativita[editovat | editovat zdroj]

V obecné relativitě působí tenzor energie a hybnosti jako zdroj zakřivení prostoročasu a je hustotou proudu spojenou s kalibračními transformacemi gravitace, což jsou obecně zakřivené transformace souřadnic. Pokud je tenzor energie a hybnosti torzní, pak již tenzor není symetrický, což odpovídá případu s nenulovým spinovým tenzorem v Einsteinově-Cartanově teorii gravitace.

V obecné relativitě jsou parciální derivace používané ve speciální relativitě nahrazeny kovariantními derivacemi. To znamená, že z rovnice kontinuity již nevyplývá, že negravitační energie a hybnost vyjádřené tenzorem se zcela zachovávají. To znamená, že gravitační pole může konat práci v hmotě a naopak. V klasické limitě Newtonovy gravitace to má jednoduchou interpretaci, energie je vyměňována s gravitační potenciální energií, která není zahrnuta v tenzoru energie a hybnosti a hybnost je přenášena přes pole na jiné objekty. V obecné relativitě je Landaův-Lifšicův pseudotenzor unikátním způsobem, jak definovat energii gravitačního pole a hustoty hybnosti. Jakýkoli takový pseudotenzor energie a hybnosti může zrušit místní transformace souřadnic.

V zakřiveném prostoročasu závisí prostorupodobný integrál obecně na prostorupodobném řezu. Ve skutečnosti není k dispozici žádný způsob jak definovat vektor globální energie-hybnosti v zakřiveném prostoročasu.

Einsteinovy polní rovnice[editovat | editovat zdroj]

V obecné relativitě je tenzor hybnosti studován v souvislosti s Einsteinovými polními rovnicemi, které jsou často psány jako

kde je Ricciho tenzor, je Ricciho skalár, je metrický tenzor, a je gravitační konstanta.

Hybnost-energie ve speciálních situacích[editovat | editovat zdroj]

Izolovaná částice[editovat | editovat zdroj]

Ve speciální teorii relativity, hybnost-energie neinteragující částice o hmotnosti m a trajektorii je:

kde je vektor rychlosti (nemělo by bát zaměňováno s čtyřrychlostí)

δ je Diracovo delta a je energie částice.

Hybnost-energie kapaliny v rovnováze[editovat | editovat zdroj]

Pro dokonalou tekutinu v termodynamické rovnováze nabývá tenzor energie a hybnosti jednoduché formy

kde je hustota hmoty-energie (kilogramy na metr krychlový), je hydrostatický tlak, je čtyřrychlost tekutiny a je převrácená hodnota metrického tenzoru.

Čtyřrychlost splňuje

V inerciální vztažné soustavě pohybující se s tekutinou, lépe známé jako vlastní referenční rámec tekutiny je čtyřrychlost

převrácená hodnota metrického tenzoru je

a tenzor energie a hybnosti je diagonální matice

Elektromagnetický tenzor energie a hybnosti[editovat | editovat zdroj]

Hilbertův tenzor energie a hybnosti volného zdroje elektromagnetického pole je

kde je elektromagnetický polní tenzor.

Skalární pole[editovat | editovat zdroj]

Tenzor energie a hybnosti pro skalární pole , které splňuje Klein-Gordonovu rovnici je

Varianty definice hybnosti-energie[editovat | editovat zdroj]

Existuje celá řada neekvivalentních definic negravitační hybnosti-energie:

Hilbertův tenzor energie a hybnosti[editovat | editovat zdroj]

Je definován jako derivace zobrazení

kde je negravitační část Lagrangiánu hustoty akce. Je symetrický a kalibračně invariantní.

Kanonický tenzor energie a hybnosti[editovat | editovat zdroj]

Teorém Noetherové implikuje, že existuje zachovávající se proud spojený s translacemi v prostoru a čase. Tento jev se nazývá kanonickým tenzorem energie a hybnosti. Obecně platí, že není symetrický a pokud máme kalibrační teorii, nemůže být kalibračně invariantní, protože prostor závislý na kalibračních transformacích nekomutuje s prostorovými translacemi.

V obecné relativitě respektují translace souřadnicový systém a jako takové nejsou transformačně kovariantní.

Belifanteův-Rosenfeldův tenzor energie a hybnosti[editovat | editovat zdroj]

V přítomnosti spinu či jiného vnitřního momentu hybnosti nemůže být kanonický Noetherové tenzor energie a hybnosti symetrický. Belinfanteův-Rosenfeldův tenzor energie a hybnosti je konstruován z kanonického tenzoru energie a hybnosti a spinového proudu takovým způsobem, aby byl symetrický a stále dodržoval zachování. V obecné relativitě souhlasí tento modifikovaný tenzor s Hilbertovým tenzorem energie a hybnosti.

Gravitační hybnost-energie[editovat | editovat zdroj]

Podle princip ekvivalence bude gravitační hybnost-energie vždy lokálně mizet ve vybraném bodě ve zvoleném rámci, tedy gravitační hybnost-energie nemůže být vyjádřena nenulovým tenzorem. Místo toho musíme použít pseudotenzor.

V obecné relativitě existuje mnoho možných definic pseudotenzoru gravitační hybnosti-energie. Patří mezi ně Einsteinův pseudotenzor nebo Landaův-Lifšicův pseudotenzor. Landaův-Lifšicův pseudotenzor může být redukován na nulu v jakékoli události prostoročasu použitím vhodného souřadnicového systému.

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Stress-energy tensor na anglické Wikipedii.

  1. On pp. 141–142 of Misner, Thorne, and Wheeler, section 5.7 "Symmetry of the Stress–Energy Tensor" begins with "All the stress–energy tensors explored above were symmetric. That they could not have been otherwise one sees as follows."
  2. Charles W. ,Misner, Thorne, Kip S. , Wheeler, John A., (1973). Gravitation. San Frandisco: W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-0334-3.
  3. d'Inverno, R.A, (1992). Introducing Einstein's Relativity. New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-859686-8.