Stolzova věta

Stolzova věta nebo Stolzova-Cesàrova věta je věta matematické analýzy, která slouží k výpočtu limity podílu dvou posloupností. Stolzova věta je obdobou L'Hospitalova pravidla pro limity funkcí

Znění věty

Nechť $(a_{n})$ a $(b_{n})$ jsou dvě reálné posloupnosti, přičemž $(b_{n})$ je ostře rostoucí posloupnost nenulových čísel rostoucí nade všechny meze. Nechť navíc existuje limita

$L=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}.$

Potom také limita $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ existuje a je rovna číslu $L$.

Důkaz

Důkaz Stolzovy věty může být založen přímo na definici limity posloupnosti. Z předpokladů víme, že pro každé $\varepsilon >0\,$ existuje $N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$ takové, že $\forall n\geq N(\varepsilon )$ platí:

$L-\varepsilon <{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}<L+\varepsilon ,$

kde $L$ je předpokládaná limita posloupnosti. Z předpokladu, že řada $b_{n}$ ostře roste, odvodíme, že jmenovatelé $b_{n+1}-b_{n}$ jsou vždy kladní, a smíme tedy jimi nerovnici vynásobit beze změny směru nerovností. Dostaneme:

$(L-\varepsilon )\,(b_{n+1}-b_{n})<a_{n+1}-a_{n}<(L+\varepsilon )\,(b_{n+1}-b_{n}).$

Nechť dále $k$ je nějaké přirozené číslo větší než $N(\varepsilon )$ a zároveň takové, aby $b_{k+1}>0$ (jeho existence plyne z předpokladu, že posloupnost $b$ diverguje). Sečtěme poslední uvedenou nerovnost od $N(\varepsilon )$ po $k$ a dostaneme:

$(L-\varepsilon )\sum _{i=N(\varepsilon )}^{k}(b_{i+1}-b_{i})<\sum _{i=N(\varepsilon )}^{k}(a_{n+1}-a_{n})<(L+\varepsilon )\sum _{i=N(\varepsilon )}^{k}(b_{i+1}-b_{i}).$

V sumách se však všechny mezilehlé členy navzájem vyruší, takže dostaneme:

$(L-\varepsilon )\,(b_{k+1}-b_{N(\varepsilon )})<a_{k+1}-a_{N(\varepsilon )}<(L+\varepsilon )\,(b_{k+1}-b_{N(\varepsilon )}),$

což po vydělení kladným číslem $b_{k+1}$ dává:

$(L-\varepsilon )\left(1-{\frac {b_{N(\varepsilon )}}{b_{k+1}}}\right)<{\frac {a_{k+1}}{b_{k+1}}}-{\frac {a_{N(\varepsilon )}}{b_{k+1}}}<(L+\varepsilon )\left(1-{\frac {b_{N(\varepsilon )}}{b_{k+1}}}\right),$

z čehož po přičtení čísla $a_{N(\varepsilon )}/b_{k+1}$ dospějeme k nerovnici

$(L-\varepsilon )\left(1-{\frac {b_{N(\varepsilon )}}{b_{k+1}}}\right)+{\frac {a_{N(\varepsilon )}}{b_{k+1}}}<{\frac {a_{k+1}}{b_{k+1}}}<(L+\varepsilon )\left(1-{\frac {b_{N(\varepsilon )}}{b_{k+1}}}\right)+{\frac {a_{N(\varepsilon )}}{b_{k+1}}}.$

Protože posloupnost $b$ diverguje, můžeme s rostoucím $k$ učinit členy $a_{N(\varepsilon )}/b_{k+1}$ a $b_{N(\varepsilon )}/b_{k+1}$ libovolně malými. V limitním přechodu pro $k$ rostoucí do nekonečna tedy dostaneme nerovnici:

$L-\varepsilon \leq \lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {a_{k+1}}{b_{k+1}}}\leq L+\varepsilon ,$

a je zároveň vidět, že limita $\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {a_{k+1}}{b_{k+1}}}$ existuje, jelikož členy posloupnosti ${\frac {a_{k+1}}{b_{k+1}}}$ dokážeme pro dosti vysoké $k$ omezit na libovolně malý interval kolem čísla $L$, a to je již tvrzení, které jsme chtěli dokázat.

Příklad

Mějme za úkol vypočítat $\lim _{n\to \infty }{\frac {{\sqrt {1}}+{\sqrt {2}}+...+{\sqrt {n}}}{\sqrt {n^{3}}}}.$

Řešení: Protože jsou splněny předpoklady Stolzovy věty ($\lim _{n\to \infty }{\sqrt {n^{3}}}=+\infty$ a po provedení následujícího výpočtu uvidíme, že i druhý předpoklad je splněn), můžeme větu aplikovat:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {{\sqrt {1}}+{\sqrt {2}}+...+{\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}-({\sqrt {1}}+{\sqrt {2}}+...+{\sqrt {n}})}{{\sqrt {(n+1)^{3}}}-{\sqrt {n^{3}}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n+1}}{{\sqrt {(n+1)^{3}}}-{\sqrt {n^{3}}}}}=$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n+1}}{({\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}})(n+1+{\sqrt {n(n+1)}}+n)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {{\sqrt {n+1}}\,({\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}})}{2n+1+{\sqrt {n(n+1)}}}}=$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n+1+n{\sqrt {1+{\frac {1}{n}}}}}{2n+1+n{\sqrt {1+{\frac {1}{n}}}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1+{\frac {1}{n}}+{\sqrt {1+{\frac {1}{n}}}}}{2+{\frac {1}{n}}+{\sqrt {1+{\frac {1}{n}}}}}}={\frac {1+0+1}{2+0+1}}={\frac {2}{3}}.$

Protože jsme zároveň ověřili, že předpoklady Stolzovy věty platí, můžeme tvrdit, že limita posloupnosti v zadání je rovna 2/3. Přitom jsme při druhé úpravě rozložili jmenovatele podle vzorce $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$ a při třetí jsme zlomek rozšířili výrazem $({\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}})$, přičemž se první činitel ve jmenovateli vynásobil podle vzorce $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$. Čtvrtá úprava znamená roznásobení závorky v čitateli a vytknutí n, pátá vykrácení zlomku číslem n, šestá limitní přechod pro jednotlivé členy čitatele i jmenovatele.

Související články

• Limita
• Posloupnost
• L'Hospitalovo pravidlo

Externí odkazy

• (anglicky) Důkaz Stolzovy věty Archivováno 30. 1. 2008 na Wayback Machine.
• Přednáška prof. Ing. Edity Pelantové, CSc., o Stolzově větě