Stolzova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Stolzova věta nebo Stolzova-Cesàrova věta je věta matematické analýzy, která slouží k výpočtu limity podílu dvou posloupností. Stolzova věta je obdobou L'Hospitalova pravidla pro limity funkcí

Znění věty[editovat | editovat zdroj]

Nechť a jsou dvě reálné posloupnosti, přičemž je ostře rostoucí posloupnost nenulových čísel rostoucí nade všechny meze. Nechť navíc existuje limita


Potom také limita existuje a je rovna číslu .

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Důkaz Stolzovy věty může být založen přímo na definici limity posloupnosti. Z předpokladů víme, že pro každé existuje takové, že platí:



kde je předpokládaná limita posloupnosti. Z předpokladu, že řada ostře roste, odvodíme, že jmenovatelé jsou vždy kladní, a smíme tedy jimi nerovnici vynásobit beze změny směru nerovností. Dostaneme:



Nechť dále je nějaké přirozené číslo větší než a zároveň takové, aby (jeho existence plyne z předpokladu, že posloupnost diverguje). Sečtěme poslední uvedenou nerovnost od po a dostaneme:



V sumách se však všechny mezilehlé členy navzájem vyruší, takže dostaneme:



což po vydělení kladným číslem dává:



z čehož po přičtení čísla dospějeme k nerovnici



Protože posloupnost diverguje, můžeme s rostoucím učinit členy a libovolně malými. V limitním přechodu pro rostoucí do nekonečna tedy dostaneme nerovnici:



a je zároveň vidět, že limita existuje, jelikož členy posloupnosti dokážeme pro dosti vysoké omezit na libovolně malý interval kolem čísla , a to je již tvrzení, které jsme chtěli dokázat.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Mějme za úkol vypočítat

Řešení: Protože jsou splněny předpoklady Stolzovy věty ( a po provedení následujícího výpočtu uvidíme, že i druhý předpoklad je splněn), můžeme větu aplikovat:





Protože jsme zároveň ověřili, že předpoklady Stolzovy věty platí, můžeme tvrdit, že limita posloupnosti v zadání je rovna 2/3. Přitom jsme při druhé úpravě rozložili jmenovatele podle vzorce a při třetí jsme zlomek rozšířili výrazem , přičemž se první činitel ve jmenovateli vynásobil podle vzorce . Čtvrtá úprava znamená roznásobení závorky v čitateli a vytknutí n, pátá vykrácení zlomku číslem n, šestá limitní přechod pro jednotlivé členy čitatele i jmenovatele.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]