Potenční množina: Porovnání verzí

← Přejít na předchozí porovnání Přejít na další porovnání →

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 5. 12. 2006, 04:58

Potenční množina množiny $X\,\!$ (značí se $\mathbb {P} (X)\,\!$ nebo též $2^{X}\,\!$ ) je taková množina, která obsahuje všechny podmnožiny množiny $X\,\!$ .

Formálně vyplývá existence potenční množiny k libovolné množině z axiomu potenční množiny.

Příklad

$A=\{1,2,3\}\,\!$
$\mathbb {P} (A)=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}\,\!$

Vlastnosti

Každá potenční množina obsahuje jako svůj prvek prázdnou množinu, tj.
$(\forall X)(\emptyset \in \mathbb {P} (X))\,\!$

Potenční množina množiny $X\,\!$ obsahuje $X\,\!$ jako svůj prvek, tj.
$(\forall X)(X\in \mathbb {P} (X))\,\!$

Na potenční množině je přirozeným způsobem definováno uspořádání pomocí relace „být podmnožinou“ $\subseteq \,\!$ . Toto uspořádání rozhodně není lineární - například množiny $\{1,3\}\,\!$ a $\{2,3\}\,\!$ z předchozího příkladu jsou neporovnatelné. Potenční množina spolu s tímto uspořádáním tvoří strukturu nazývanou potenční algebra, která má řadu zajímavých vlastností - jedná se například o úplný svaz.

Mohutnost potenční množiny

Pokud je $X\,\!$ konečná množina a její mohutnost je $|X|=n\,\!$ , pak mohutnost její potenční množiny je $|\mathbb {P} (X)|=2^{n}\,\!$ .
Pro nekonečné množiny platí podle Cantorovy věty, že mohutnost $\mathbb {P} (X)\,\!$ je ostře větší, než mohutnost $X\,\!$ . Z toho mimo jiné vyplývá, že škála mohutností nekonečných množin je nekonečná, protože mohutnost $\mathbb {P} (\mathbb {P} (X))\,\!$ je ostře větší, než mohutnost $\mathbb {P} (X)\,\!$ atd.

Podívejte se také na

Šablona:Portál matematika

@@ Řádek 14: / Řádek 14: @@
 <math> (\forall X)(X \isin \mathbb{P}(X)) \,\! </math>
-Na potenční množině je přirozeným způsobem definováno [[uspořádání]] pomocí relace "být [[podmnožina|podmnožinou]]" <math> \subseteq \,\! </math>. Toto uspořádání rozhodně není [[lineární uspořádání|lineární]] - například množiny <math> \{ 1,3 \} \,\! </math> a <math> \{ 2,3 \} \,\! </math> z předchozího příkladu jsou neporovnatelné. Potenční množina spolu s tímto uspořádáním tvoří strukturu nazývanou [[potenční algebra]], která má řadu zajímavých vlastností - jedná se například o [[úplný svaz]].
+Na potenční množině je přirozeným způsobem definováno [[uspořádání]] pomocí relace „být [[podmnožina|podmnožinou]]“ <math> \subseteq \,\! </math>. Toto uspořádání rozhodně není [[lineární uspořádání|lineární]] - například množiny <math> \{ 1,3 \} \,\! </math> a <math> \{ 2,3 \} \,\! </math> z předchozího příkladu jsou neporovnatelné. Potenční množina spolu s tímto uspořádáním tvoří strukturu nazývanou [[potenční algebra]], která má řadu zajímavých vlastností - jedná se například o [[úplný svaz]].
 == Mohutnost potenční množiny ==