Potenční množina: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
mat. vzorce a odkaz a rozšíření vlastností a podívejte se také na |
m robot: stylistické, typografické a kódové korekce a náhrady přesměrování podle specifikace |
||
| Řádek 8: | Řádek 8: | ||
== Vlastnosti == |
== Vlastnosti == |
||
Každá potenční množina obsahuje jako svůj prvek [[prázdná množina|prázdnou množinu]], tj.<br> |
Každá potenční množina obsahuje jako svůj prvek [[prázdná množina|prázdnou množinu]], tj.<br /> |
||
<math> (\forall X)( \emptyset \isin \mathbb{P}(X)) \,\! </math> |
<math> (\forall X)( \emptyset \isin \mathbb{P}(X)) \,\! </math> |
||
Potenční množina množiny <math> X \,\! </math> obsahuje <math> X \,\! </math> jako svůj prvek, tj.<br> |
Potenční množina množiny <math> X \,\! </math> obsahuje <math> X \,\! </math> jako svůj prvek, tj.<br /> |
||
<math> (\forall X)(X \isin \mathbb{P}(X)) \,\! </math> |
<math> (\forall X)(X \isin \mathbb{P}(X)) \,\! </math> |
||
| Řádek 18: | Řádek 18: | ||
== Mohutnost potenční množiny == |
== Mohutnost potenční množiny == |
||
* Pokud je <math> X \,\! </math> konečná množina a její [[mohutnost]] je <math> |X| = n \,\! </math>, pak mohutnost její potenční množiny je <math> |\mathbb{P}(X)| = 2^n \,\! </math>. |
* Pokud je <math> X \,\! </math> konečná množina a její [[mohutnost]] je <math> |X| = n \,\! </math>, pak mohutnost její potenční množiny je <math> |\mathbb{P}(X)| = 2^n \,\! </math>. |
||
* Pro nekonečné množiny platí podle [[Cantorova věta|Cantorovy věty]], že mohutnost <math> \mathbb{P}(X) |
* Pro nekonečné množiny platí podle [[Cantorova věta|Cantorovy věty]], že mohutnost <math> \mathbb{P}(X) \,\! </math> je ostře větší, než mohutnost <math> X \,\! </math>. Z toho mimo jiné vyplývá, že škála mohutností nekonečných množin je nekonečná, protože mohutnost <math> \mathbb{P}(\mathbb{P}(X)) \,\! </math> je ostře větší, než mohutnost <math> \mathbb{P}(X) \,\! </math> atd. |
||
== Podívejte se také na == |
== Podívejte se také na == |
||
Verze z 16. 11. 2006, 04:41
Potenční množina množiny (značí se nebo též ) je taková množina, která obsahuje všechny podmnožiny množiny .
Formálně vyplývá existence potenční množiny k libovolné množině z axiomu potenční množiny.
Příklad
Vlastnosti
Každá potenční množina obsahuje jako svůj prvek prázdnou množinu, tj.
Potenční množina množiny obsahuje jako svůj prvek, tj.
Na potenční množině je přirozeným způsobem definováno uspořádání pomocí relace "být podmnožinou" . Toto uspořádání rozhodně není lineární - například množiny a z předchozího příkladu jsou neporovnatelné. Potenční množina spolu s tímto uspořádáním tvoří strukturu nazývanou potenční algebra, která má řadu zajímavých vlastností - jedná se například o úplný svaz.
Mohutnost potenční množiny
- Pokud je konečná množina a její mohutnost je , pak mohutnost její potenční množiny je .
- Pro nekonečné množiny platí podle Cantorovy věty, že mohutnost je ostře větší, než mohutnost . Z toho mimo jiné vyplývá, že škála mohutností nekonečných množin je nekonečná, protože mohutnost je ostře větší, než mohutnost atd.
